Cho \(a,b,c,x,y,z\ne0\) thỏa mãn \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ac}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 6 2018
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1)
=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] =>
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2)
Thực hiện tương tự ta cũng có
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3)
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.
12 tháng 2 2016
Mình biết nhưng bài giải hơi tóm tắt bạn có cần không :)
HT
14 tháng 12 2015
Thử tiếp này \(\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\)
=> \(\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right)\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-xz\right)\left(z^2-xy\right)}\)
HT
14 tháng 12 2015
Có \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
=> \(\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\)
=> \(\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
\(=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{ac}{\left(x^2-yz\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{b^2-ac}{\left(y^2-xz\right)^2-\left(x^2-yz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
\(=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}=\frac{ab}{\left(x^2-yz\right).\left(y^2-xz\right)}=\frac{c^2-ab}{\left(z^2-xy\right)^2-\left(x^2-yz\right).\left(y^2-xz\right)}\)
Xét (x2 - yz)2 - (y2 - xz)(z2 - xy)
= ...................... (Tui xét phía dưới rùi kéo xuống phía dưới mà coi)
= x(x3 + y3 + z3 - 3xyz)
Tương tự, ta có (y2-xz)2 - (x2 - yz).(z2 - xy) = y.(x3 + y3 + z3 - 3xyz)
(z2 - xy)2 - (x2 - yz).(y2 - xz) = z.(x3 + y3 + z3 - 3xyz)
=> \(\frac{a^2-bc}{x\left(x^2+y^3+z^3-3xyz\right)}=\frac{b^2-ac}{y\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}=\frac{c^2-ab}{z\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}\)
=> \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ac}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\)(Đpcm)
26 tháng 8 2018
với x=y=z khác 0 và a,b,c khác nhau là 1 số bất kỳ khác 0 thì (1) thỏa mãn và (2) không thỏa mãn
=> Không thể CM
26 tháng 8 2018
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-zx}=\frac{c}{z^2-xy}\) (*)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}\)
\(=\frac{a^2-bc}{x^4-3x^2yz+xy^3+xz^3}=\frac{a^2-bc}{x.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Làm tương tự như trên. ta có:
\(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{b^2}{\left(y^2-zx\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
\(\frac{c^2-ab}{z}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Từ (*) \(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)
20 tháng 10 2017
vì có 1 chút nhầm lẫn nên giờ mk mới ra mong bạn thứ lỗi
bài 1
\(\Leftrightarrow\frac{4a^4}{2a^3+2a^2b^2}+\frac{4b^4}{2b^3+2c^2b^2}+\frac{4c^4}{2c^3+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)^2}{2a^3+2b^3+2c^3+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(\ge\frac{36}{a^4+a^2+b^4+b^2+c^4+c^2+2a^2b^2+2c^2b^2+2a^2c^2}\)
\(=\frac{36}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+a^2+b^2+c^2}=3\ge a+b+c\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KN
26 tháng 4 2020
Bài 2 là chuyên Bình Thuận, 2016-2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\(\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{yz}{y^2+zx+xy}\le\frac{xy\left(z^2+zx+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\);\(\frac{zx}{z^2+xy+yz}\le\frac{zx\left(x^2+xy+yz\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên. ta được:
\(VT\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
