Tìm a , b , c , d , e biết rằng :
\(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 9 2018
\(1.\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(2.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\)
\(3.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
4. Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(c-d\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3ab+3cd\)
Ta lại có:\(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{cd}\right)^2\ge0\Rightarrow ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+cd\right)\ge6\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3\left(ab+cd\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
US
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2022
Với mọi a;b;c;d;e ta có:
\(\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{2}=b=c=d=e\)
8 tháng 3 2022
BĐT
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-\left(4ab+4ac+4ad+4ae\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\), luôn đúng với \(\forall a,b,c,d,e\in R\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=2b=2c=2d=2e\)
N
6 tháng 3 2019
\(a^2-a=a.\left(a-1\right)⋮2\)
tương tự b2-b,c2-c,d2-d,e2-e
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-\left(a+b+c+d\right)⋮2\text{ mà }a^2+b^2+c^2+d^2+e^2⋮2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\text{ mà }a+b+c+d\ge4\Rightarrow a+b+c+d\text{ là hợp số}\)
MD
11 tháng 4 2017
d) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\)
<=> 4(a2 + b2 ) \(\ge\) 2 ( a2 + 2ab + b2 )
<=> 4a2 + 4b2 \(\ge\) 2a2 + 4ab +2b2
<=> 4a2 + 4b2 - 2a2 - 4ab - 2b2 \(\ge\) 0
<=> 2a2 - 4ab + 2b2 \(\ge\) 0
<=> a2 -2ab +b2 \(\ge\) 0
<=> (a-b)2 \(\ge\) 0 ( luôn đúng)
=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) \(\ge\) \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
Và dấu bằng xảy ra <=> a = b
e) Làm tương tự nhé! Có gì ko hiểu thì hỏi lại mk! Ok??
MT
1
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
9 tháng 2 2022
\(a+b+c+d+e\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-kb\right)^2+\left(a-kc\right)^2+\left(a-kd\right)^2+\left(a-ke\right)^2\ge0\)
Ta chọn \(k=2\)hay nhân 2 vế với 4
*Xét hiệu 2 vế bất đẳng thức.
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)-4\left(ab+ac+ad+ae\right)}{4}\)
\(=\frac{\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)}{4}\)
\(=\frac{\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-a\left(b+c+d+e\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi\(a=2b=2c=2d=2e\)
Nhân cả 2 vế với 4, ta có:
8a2+4b2+4c2+4d2+4e2=4a(b+c+d+e)
<=> 8a2+4b2+4c2+4d2+4e2 - 4a(b+c+d+e) = 0
<=> 8a2+4b2+4c2+4d2+4e2 - 4ab-4ac-4ad-4ae=0
<=>(a2-4ab+4b2) + (a2-4ac+4c2) + (a2-4ad+ 4d2) + (a2-4ae+ 4e2) +4a2=0
<=> (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 = 0
Vì (a-2b)2, (a-2c)2, (a-2d)2, (a-2e)2 , (2a)2 luôn lớn hơn hoặc bằng không
=> (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 >= 0
mà (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 = 0
nên
(2a)2 = 0 <=> a=0
(a-2b)2 = 0 <=> (0-2b)2=0 <=> 2b=0 <=> b=0
Chứng minh tương tự ta được a=b=c=d=e=0
Vậy a=b=c=d=e=0
Áp dụng BĐT \(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Rightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\)\(\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c^2\right)+\left(a-2d^2\right)+\left(a-2e\right)^2\ge0\)( Luôn đúng với mọi trường hợp )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=2c=2d=2e\)
P/s không hiểu thì: \(2xy\le x^2+y^2\forall x=2a;y=b+c+d+e\)
Có thể dùng BĐT Bunhiaxicop cho 4 số