Cho a,b,c là số nguyên dương
Tính:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Biết:\(a+b+c=2018\)
Biết:\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{6}{2018}\)
Giúp mình với ạ, xin cảm ơn các bạn rất nhiều!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 6 2018
Ta có: \(1=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
Vì a,b,c là số nguyên dương nên:
Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
đpcm
TN
15 tháng 1 2017
Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự ta có:\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{bc+c}{2};\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}=6-\frac{3+ab+bc+ca}{2}\)
Mà theo BĐT AM-GM: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Suy ra \(VT\ge6-3=3\)(ĐPCM)
16 tháng 4 2019
1,https://diendantoanhoc.net/topic/157361-t%C3%ACm-c%C3%A1c-s%E1%BB%91-nguy%C3%AAn-x-y-tho%E1%BA%A3-m%C3%A3n-x3y32016/
17 tháng 11 2017
Trước tiên ta chứng minh bổ đề: Với x, y dương thì ta có:
\(\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}\ge\frac{2^{n+1}}{\left(x+y\right)^n}\)
Với n = 1 thì nó đúng.
Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay \(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\ge\frac{2^{k+1}}{\left(x+y\right)^k}\left(1\right)\)
Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)hay \(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\frac{2^{k+2}}{\left(x+y\right)^{k+1}}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) cái ta cần chứng minh trở thành:
\(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\left(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\right)\frac{2}{\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y^{k+1}-x^{k+1}\right)\ge0\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM.
Áp dụng và bài toán ta được
\(2\left(\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\right)\ge\frac{2^{2019}}{2^{2018}.a^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.b^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.c^{2018}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\ge\frac{1}{a^{2018}}+\frac{1}{b^{2018}}+\frac{1}{c^{2018}}\)
Từ 2 giả thiết: \(a+b+c=2018;\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{6}{2018}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{2018.6}{2018}=6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=6\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{c}{a+b}+1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}=6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=3\)
Vậy giá trị của biểu thức đó là 3.