Cho PT: x2 - px + q = 0, trong đó p, q là các số nguyên tố. Biết PT có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt, chứng minh rằng p2 + q2 là một số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AK
1
16 tháng 4 2022
-Vì p,q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\)p,q có dạng \(3k+1\) hoặc \(3h+2\).
-Có: \(p^2-q^2=p^2+pq-pq-q^2=p\left(p+q\right)-q\left(p+q\right)=\left(p+q\right)\left(p-q\right)\).
*\(p=3k+1;q=3h+2\).
\(p^2-q^2=\left(3k+1+3h+2\right)\left(3k+1-3h-2\right)=\left(3k+3h+3\right)\left(3k+1-3h-2\right)⋮3\)
-Các trường hợp p,q có cùng số dư (1 hoặc 2) khi chia cho 3:
\(\Rightarrow\left(p^2-q^2\right)⋮3̸\).
-Vậy \(\left(p^2-q^2\right)⋮3\)
TV
2
16 tháng 1 2021
Để pt đã cho có nghiệm nguyên dương thì \(\Delta =p^2-4q\) là số chính phương.
Đặt \(p^2-4q=k^2\Leftrightarrow4q=\left(p-k\right)\left(p+k\right)\) với k là số tự nhiên.
Do p - k, p + k cùng tính chẵn, lẻ mà tích của chúng chẵn nên hai số này cùng chẵn.
Mặt khác p - k < p + k và q là số nguyên tố nên p - k = 2; p + k = 2q hoặc p - k = 4; p + k = q.
Nếu p - k = 4; p + k = q thì q chẵn do đó q = 2 (vô lí vì p + k > p - k).
Nếu p - k = 2; p + k = 2q thì 2p = 2q + 2 tức p = q + 1. Do đó q chẵn tức q = 2. Suy ra p = 3.
Thử lại ta thấy pt \(x^2-3x+2=0\) có nghiệm nguyên dương x = 1 và x = 2.
Vậy p = 3; q = 2.
RG
15 tháng 2 2019
Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K1, K2, K3, K4, K5 (phân biệt từng đôi một).Ta có :
K1 = 2^(a1).3^(b1)
K2 = 2^(a2).3^(b2)
K3 = 2^(a3).3^(b3)
K4 = 2^(a4).3^(b4)
K5 = 2^(a5).3^(b5)
(a1,a2,a3,... và b1,b2,b3,... đều là số tự nhiên)
Xét 4 tập hợp sau :
+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n lẻ)
+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m lẻ, n chẵn)
+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n lẻ)
+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3^n (với m chẵn, n chẵn)
Rõ ràng trong 5 số K1, K2, K3, K4, K5 chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ Ki và Kj
Ki = 2^(ai).3^(bi) và Kj = 2^(aj).3^(bj) ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj)
Vì Ki và Kj thuộc cùng 1 tập hợp ---> ai và aj cùng tính chẵn lẻ, bi và bj cùng tính chẵn lẻ ---> ai+aj và bi+bj đều chẵn ---> Ki.Kj = 2^(ai+aj).3^(bi+bj) là số chính phương.
22 tháng 9 2020
Cách 1:
Số trong 5 số có dạng 2x.3y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0.
(x;y) chỉ có thể (C;C); (L;L); (C;L); (L;C) vì có 5 số 4 dạng nên tồn tại 2 số cùng một dạng nên tích 2 số này là số chính phương.
Cách 2:
Ta dễ dàng chứng minh được trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số bất kỳ mà tổng của chúng chia hết cho 2.
Vì số trong 5 số có dạng 2x.3y trong đó x,y là số tự nhiên khác 0 nên ta luôn chọn được 2 số mà tích của nó là số chính phương.
Phương trình có 2 nghiêm nguyên dương m, n. Khi đó mn=q, m+n=p, do q là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước nguyên dương là 1, q. Do đó {m, n}={1; q}
Khi đó 1+q=p, do đó p, q khác tính chẵn lẻ, mà chỉ có 2 là số nguyên tố chẵn, do đó q=2, p=3
p²+q²=2²+3²=13 là số nguyên tố ( đọc)