Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)
Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :
\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).
Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :
\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)
Vậy ...............
Đặt VT = K
Coi K là một đa thức theo biến x. Rõ ràng sau khi khai triển, đưa về dạng chính tắc, K sẽ là đa thức bậc hai đối với biến x.
Vì vậy giả sử \(K\left(x\right)=Ax^2+Bx+C\)
- Cho x = -a: \(Aa^2-Ba+C=1\)(1)
- Cho x = -b: \(Ab^2-Bb+C=1\)(2)
- Cho x = -c: \(Ac^2-Bc+C=1\)(3)
Lấy (1) - (2): \(A\left(a^2-b^2\right)-B\left(a-b\right)=0\)(4)
Vì a - b khác 0 \(\Rightarrow A\left(a+b\right)-B=0\)(5)
Lấy (4) - (5),ta được: \(A\left(a-c\right)=0\Rightarrow A=0\)(do a - c khác 0)
Từ (4) suy ra B = 0, do đó C = 1
Vậy K = 1 hay \(\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)(đpcm)