Cho \(a^2+b^2\le2\)Chứng minh\(a+b\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
22 tháng 11 2017
Với mọi a, b ta luôn có \(a^2+b^2\ge2ab\).
Suy ra \(a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le4\).
Suy ra \(\left|a+b\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\).
Vì vậy \(a+b\le2\).
SM
0
5 tháng 11 2018
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow2ab\le a^2+b^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le4\Rightarrow a+b\le2\)
11 tháng 11 2018
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)
Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)
=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a2+b2+c2-(a+b+c)-6\(\le\)0
=>a2+b2+c2 \(\le\)6
Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)( a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị
DF
1
6 tháng 1 2021
Ta có \(\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\left(ab+bc+ca\right)+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-4\).
Lại có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=0\).
Do đó \(\left(ab+bc+ca\right)^2\le16\).
Mặt khác do \(a+b+c=0\) nên dễ dàng chứng minh được \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(ab+bc+ca\right)^2\) (Bạn xem ở đây).
Do đó \(a^4+b^4+c^4\le32\) (đpcm).
G
1
NT
Nguyễn thành Đạt
CTVHS
18 tháng 2 2023
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( dấu "=" xảy ra ⇔ a=b )
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^2\le2.2=4\) (do \(a^2+b^2\le2\))
\(\Leftrightarrow\)\(a+b\le\sqrt{4}=2\) (đpcm)
p/s: tham khảo ạ. mk ko giám đảm bảo