cho a,b,c >0 va abc=1 CM \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}=< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 1 2016
Có: (a+b+c)2=a2+b2+c2
=> a2 +b2 +c2 +2(a*b+b*c+c*a)=a2 +b2 +c2
=>2*(a*b+b*c+c*a) = 0
=>a*b+b*c+c*a = 0
=> (a*b+b*c+c*a)/a*b*c = 0 ( cùng chia 2 vế cho a*b*c)
=> (a*b/a*b*c)+(b*c/a*b*c)+(c*a/a*b*c) = 0
=>1/c+1/a+1/b = 0
=>1/a3 +1/b3 +1/c3 =3*1/a*1/b*1/c = 3/a*b*c
TD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2020
\(abc+a+c=b\Leftrightarrow ac+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1\)
\(\Rightarrow\) tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho: \(\left\{{}\begin{matrix}a=tan\frac{A}{2}\\\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2}\\c=tan\frac{C}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt vế trái của biểu thức là P, ta có:
\(P=\frac{2}{1+tan^2\frac{A}{2}}-\frac{2}{1+\frac{1}{tan^2\frac{B}{2}}}+\frac{3}{1+tan^2\frac{C}{2}}=2cos^2\frac{A}{2}-2sin^2\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=cosA+cosB+3cos^2\frac{C}{2}=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-3sin^2\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\)
\(=-3\left(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{A-B}{2}\right)^2+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\le0+\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}\)
21 tháng 9 2016
Ta có 1 + ab2 \(\ge\)\(2b\sqrt{a}\)
1 + bc2 \(\ge2c\sqrt{b}\)
1 + ca2 \(\ge2a\sqrt{c}\)
VT \(\ge\)\(2\left(\frac{b\sqrt{a}}{c^3}+\frac{c\sqrt{b}}{a^3}+\frac{a\sqrt{c}}{b^3}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(\sqrt[4]{b^2a}+\sqrt[4]{c^2b}+\sqrt[4]{a^2c}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge2\frac{\left(3\sqrt[12]{a^3b^3c^3}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)
HP
20 tháng 11 2016
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(< =>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1\) (chia cả 2 vế cho a+b+c)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}\)
\(\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
13 tháng 10 2016
Ta có
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a^2bc+ab^2c+abc^2}{a^2b^2c^2}=\frac{abc\left(a+b+c\right)}{a^2b^2c^2}=0\)
Ta lại có
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Từ đó
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
KN
13 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta được:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+a+c+a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
T
15 tháng 9 2019
ミ★长 - ƔξŦ★彡vãi cả cauchy-schwarz cho bậc 3: \("\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+c+a+a+b}\)
Thiết nghĩ nên sửa đề \(a,b,c>0\) thôi chứ là gì có d? Mà nếu a >b >c > d > 0 thì liệu dấu = có xảy ra?
Áp dụng BĐT Cauchy-Scwarz ta có: \(LHS\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Xem lại đề đi bạn ơi !
Mk nghĩ đề là : cm 1/2-a + 1/2-b + 1/2-c >= 3
Nếu nói gì sai thì thông cảm nha