Question

[Xuân Thường Đặng]

Cho điểm A nằm ngoài (O;R), từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến AMN

a, Chứng minh ABOC nội tiếp 

b, AM.AN = AB^2

c, Tiếp tuyến tại N của (O) cắt BC tại F.Chứng minh FM là tiếp tuyến của (O;R)

d, Gọi P là giao điểm của dây BC và dây MN, E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC. Chứng minh P,E,O thẳng hàng

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

a) Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB\perp OB\\AC\perp OC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{ABO}=90^0\\\widehat{ACO}=90^0\end{cases}}\)

Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác ABOC

\(\Rightarrow ABOC\)nội tiếp ( dhnb )

b) Xét (O) có AB là tiếp tuyến tại B ; MB là dây cung

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)

Xét tam giác ABM và tam giác ANB có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAN}chung\\\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ABM~\Delta ANB\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AB^2=AM.AN\left(1\right)\)

c)  Gọi H là giao điểm của BC và AO 

Xét tam giác ABH và tam giác AOB có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAO}chung\\\widehat{AHB}=\widehat{ABO}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH~\Delta AOB\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AH}=\frac{AO}{AB}\Rightarrow AB^2=AO.AH\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM.AN=AH.AO\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\)

Xét tam giác AMH và tam giác AON có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAO}chung\\\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMH~\Delta AON\left(c-g-c\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}\)

Mà \(\widehat{AHM}+\widehat{MHO}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)

Xét tứ giác MHON có 

\(\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác  MHON

\(\Rightarrow MHON\)nội tiếp ( dhnb ) 

\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NHO}\left(3\right)\)

Vì H là giao điểm của BC và AO ( h.vẽ )

Mà \(AB,AC\)là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow BC\perp OA\)

\(\Rightarrow\widehat{BHO}=90^0\)

Vì NF là tiếp tuyến của (O) tại N

\(\Rightarrow\widehat{ÒNF}=90^0\)

Xét tứ giác FHON có:\(\widehat{FHO}+\widehat{FNO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác FHON

=> FHON nội tiếp ( dhnb )

\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{NFO}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NFO}\)

\(\Rightarrow FMON\)nội tiếp (dhnb)

\(\Rightarrow\widehat{FMO}+\widehat{FNO}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{FMO}=90^0\)

\(\Rightarrow FM\perp OM\)

\(\Rightarrow FM\)là tiếp tuyến của (O) 

d)  Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO 

\(\Rightarrow E\)thuộc đường tròn đường kính OF

\(\Rightarrow\widehat{OEF}=90^0\)

+) Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC hay E thuộc đường tròn đường kính AO

\(\Rightarrow\widehat{AEO}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{OEF}+\widehat{AEO}=180^0\)

\(\Rightarrow A,E,F\)thẳng hàng

Lại có vì góc AEO= 90 độ \(\Rightarrow OE\perp AF\left(5\right)\)

Gọi K là trung điểm của MN

\(\Rightarrow OF\perp MN\)

\(\Rightarrow AK\perp OF\)

Xét tam giác AOF có: \(\hept{\begin{cases}AK\perp OF\\FH\perp AO\end{cases}}\)mà AK cắt FH tại P

=> P là trực tâm của tam giác AOF

\(\Rightarrow OP\perp AF\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow O,E,P\)thẳng hàng ( đpcm )