Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [0;1]. Tìm Max
\(P=\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{a+c+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HV
28 tháng 8 2021
\(a\left(b-1\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\\ \Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1\le2-abc\\ \Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le2-abc\)
lại có \(abc\le1\) nên \(2-abc\ge1\)
ta chứng minh \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)
luôn đúng do \(0\le a;b;c\le1\)
vậy bđt dc cm
tick mik nhaaaaa.mik ms l9 thui
HP
28 tháng 8 2021
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\).
Khi đó: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc\ge ac+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\\\dfrac{c}{a}+1\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le2+2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
Vì \(1\le c\le a\le2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{c}-2\right)\left(\dfrac{2a}{c}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le7\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le10\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=2;c=1\) và các hoán vị.
. Khi biểu thức 
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\dfrac{a-1}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+1\)
\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{b+c+1}\right]+1\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{bc+b+c+1}\right]+1\)
\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left[\left(1-b\right)\left(1-c\right)-\dfrac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right]+1\)
\(\Rightarrow P\le\left(1-a\right)\left(\dfrac{\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)-1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right)+1\)
Do \(a;b;c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)\le1\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(1-a\right)\left[\dfrac{\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)-1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\right]\le0\)
\(\Rightarrow P\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right);\left(0;1;1\right);\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị