Question

[phuong]

cho x,y,z la cac so khac 0 va x²=yz; y²=xz; z²=xy. chung min x=y=z

Answer 1

[Hoàng Phúc]

Ta có: x²=yz (1)

         y²=xz (2)

         z²=xy  (3)

Cộng từng vế các BĐT (1);(2);(3) ta được:

x²+y²+z²=yz+xz+xy

<=>2(x²+y²+z²)=2(yz+xz+xy) (nhân cả 2 vế cho 2)

<=>2x²+2y²+2z²=2yz+2xz+2xy

<=>(2x²+2y²+2z²)-(2yz+2xz+2xy)=0

<=>2x²+2y²+2z²-2yz-2xz-2xy=0

<=>(2x²-2xy)+(2y²-2yz)+(2z²-2xz)=0

<=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)   với mọi x;y

\(\left(y-z\right)^2\ge0\)   với mọi y;z

\(\left(z-x\right)^2\ge0\) với mọi z;x

=>(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² \(\ge\) 0 với mọi x;y;z

Theo đề: (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0

=>(x-y)²=(y-z)²=(z-x)²=0

<=>x-y=y-z=z-x=0

+)x-y=0=>x=y (4)

+)y-z=0=>y=z (5)

+)z-x=0=>z=x (6)

từ (4);(5);(6)=>x=y=z (ĐPCM)

Answer 2

[Đỗ Lê Tú Linh]

Ta có: x²=yz =>\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\) (1)

y²=xz => \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\) (2)

Từ (1);(2) =>\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}=\frac{x+z+y}{y+x+z}=1\)

Do đó, x=y*1=y

          z=x*1=x

=>x=y=z

Vậy x=y=z