Question

[công chúa Serenity]

1. Tồn tại hay không các số nguyên a, b, c, d sao cho:

abcd - a = 7531; abcd - b = 531;

abcd - c = 31; abcd - d = 1

2. Cho a₁, a₂, ... , a₂₀₀₃ \(\in\) Z; b₁, b₂, ... , b₂₀₀₃ là các sắp xếp theo thứ tự khác của các số a₁, a₂, ... , a₂₀₀₃. Chứng tỏ rằng: P = (a₁ - b₁) (a₂ - b₂) ... (a₂₀₀₃ - b₂₀₀₃) là một số chẵn.

Answer 1

[Go!Princess Precure]

1. Giả sử tồn tại a, b, c, d \(\in\) Z sao cho:

abcd - a = 7531; abcd - b = 531;

abcd - c = 31; abcd - d = 1.

Từ abcd - a = 7531 \(\Leftrightarrow\) a (bcd - 1) = 7531

Do đó: a là một số lẻ

mà abcd - b = 531 \(\Leftrightarrow\) b (acd - 1) = 531

Do đó: b là một số lẻ

mà abcd - c = 31 \(\Leftrightarrow\) c (abd - 1) = 31

Do đó: c là một số lẻ

mả abcd - d = 1 \(\Leftrightarrow\) d (abc - 1) = 1

Do đó: d là một số lẻ

Vậy a, b, c, d là các số lẻ nên abcd là số lẻ.

\(\Rightarrow\) Vế trái của các biểu thức đã cho là số chẵn, trong khi đó vế phải là số lẻ. Điều này vô lý.

\(\Rightarrow\) Không tồn tại a, b, c, d \(\in\) Z thỏa mãn đồng thời các biểu thức đã cho.

Answer 2

[Go!Princess Precure]

2. Giả sử P là số lẻ

\(\Rightarrow\) các số a₁ - b₁; a₂ - b₂; ... ; a₂₀₀₃ - b₂₀₀₃ là các số lẻ.

Mà 2003 là một số lẻ nên suy ra tổng:

S = (a₁ - b₁) + (a₂ - b₂) + ... + (a₂₀₀₃ - b₂₀₀₃) là một số lẻ (1)

Mặt khác:

S = (a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀₃) - (b₁ + b₂ + ... + b₂₀₀₃)

Do b₁, b₂, ... , b₂₀₀₃ là một cách sắp xếp khác của các số a₁, a₂, ... , a₂₀₀₃

\(\Rightarrow\left(a_1+a_2+...+a_{2003}\right)=\left(b_1+b_2+...+b_{2003}\right)\).

Vậy S = 0 (2)

Ta thấy