Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0.
Tính giá trị biểu thức: Q = P(-2) + 7P(6)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)
Theo đề ta có:
\(\hept{\begin{cases}1+a+b+c+d=0\\81+27a+9b+3c+d=0\\625+125a+25b+5c+d=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d=-1\\27a+9b+3c+d=-81\\125a+25b+5c+d=-625\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-9\\b=23\\c=-15;\end{cases}d=-1}}\)
P(1) = 0 ; P(3) = 0 ; P(5) = 0 nên 1 ; 3 ; 5 lần lượt là nghiệm của phương trình nên
P(x) chứa nhân tử (x-1), (x-3), (x-5)
vì P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là một nên P(x) có dạng:
P(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-a)
Q = P(-2) + 7P(6)
= (-2-1)(-2-3)(-2-5)(-2-a) + 7(6-1)(6-3)(6-5)(6-a)
= 210 + 105a + 7(90 - 15a)
= 210 + 105a + 630 - 105a
= 840
P(x)=ax^3+bx+c
Hệ số cao nhất là 4 nên a=4
=>P(x)=4x^3+bx+c
Hệ số tự do là 0 nên P(x)=4x^3+bx
P(1/2)=0
=>4*1/8+b*1/2=0
=>b=-1
=>P(x)=4x^3-x
Đặt h(x) = x4 + a.x3 + b.x2 + c.x + d
h(1) = 1 => 1 + a + b + c + d = 2
Tương tự với h(2), h(4),... ta được 4 phương trình bậc một 4 ẩn, dễ dàng giải ra kết quả.
xét g(x)=x2+1 có g(1)=2; g(2)=5; g(4)=17; g(-3)=10
ta có f(x)=h(x)-g(x)thì f(x) bậc 4 của hệ số x4 là 1 và f(1)=f(2)=f(4)=f(-3)
=> f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x+3)
=> f(x)=(x2-3x+2)(x2-x-12)=x4-4x3-7x2+34x-24
=> h(x)=x4-4x3-6x2+34x-25
Lời giải:
Dữ kiện về \(P(1); P(3); P(5)\), kết hợp với đặc điểm $P(x)$ bậc 4 có hệ số cao nhất là $1$ ta sẽ đặt:
\(P(x)=(x-k)(x-1)(x-3)(x-5)+ax^2+bx+c\)
(Ta không cần đặt \(ax^3+bx^2+cx+d\) bởi vì giá trị hệ số bậc 3 đã phụ thuộc vào số tùy biến $k$)
Khi đó:
\(P(1)=P(3)=P(5)=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ 25a+5b+c=0\end{matrix}\right.\). Hệ này có nghiệm \(a=b=c=0\)
Do đó:
\(P(x)=(x-k)(x-1)(x-3)(x-5)\)
\(\Rightarrow P(-2)=105(k+2)\) và \(P(6)=15(6-k)\)
Suy ra \(Q=P(-2)+7P(6)=105(k+2)+105(6-k)=840\)
P(x) bậc bốn ; x={1;3;5} là nghiệm
<=>P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) .(x-m)
P(-2) = (-2-1) (-2-3)(-2-5) .(-2-m) = 3.5.7.(2+m)
P(6) = (6-1) (6-3)(6-5) (6-m)=5.3.1.(6-m)
Q=P(-2) +7.P(6) =3.5.7(2+m) +3.5.7.(6-m) =3.5.7.[(2+m)+(6-m)]
\(\text{Q=3.5.7.8 =21.40=840}\)