Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số y = f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 ; π 4  và f π 4 = 0.   Biết rằng ta có điều kiện ∫ 0 π 4 f 2 x d x = π 8 ; ∫ 0 π 4 f ' x sin 2 x d x = − π 4 .  Tính tích phân I = ∫ 0 π 8 f 2 x d x .

A.  I = 1 2

B.  I = 1 4

C.  I = 2

D.  I = 1

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Ta có ∫ 0 π 4 f ' x sin 2 x d x

Đặt u = sin 2 x d v = f ' x ⇒ d u = 2 cos 2 xdx v = f x  suy ra 

∫ 0 π 4 f ' x sin 2 x d x = sin 2 x f x π 4 0 − ∫ 0 π 4 2 cos 2 x . f x d x

⇒ − 2 ∫ 0 π 4 c o s 2 x . f x d x = − π 4 ⇒ ∫ 0 π 4 c o s 2 x . f x d x = π 8

Lại có: ∫ 0 π 4 c o s 2 2 x . f x d x = π 8 ⇒ ∫ 0 π 4 f x − c o s 2 x 2 d x = 0 ⇒ f x = c o s 2 x  

Do đó ∫ 0 π 8 f 2 x d x = ∫ 0 π 8 c o s 4 x d x = sin 4 x 4 π 8 0 = 1 4 .