tìm giá trị nhỏ nhất của P, biết: xy+yz+xz=1; x,y,z là các số thực dương
\(P=\frac{x}{y\left(1+x^2\right)}+\frac{y}{z\left(1+y^2\right)}+\frac{z}{x\left(1+z^2\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
1
18 tháng 4 2019
Đặt A=\(\left|2x-3y\right|+\left|4z-3x\right|+\left|xy+yz+xz-2484\right|\)
Ta có \(\left|2x-3y\right|\ge0;\left|4z-3x\right|\ge0;\left|xy+yz+xy-2484\right|\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge0\Rightarrow Amin=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3y=0\\4z-3x=0\\xy+yz+xz-2484=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{x}{12}=\frac{y}{8}\left(1\right)\\\frac{x}{4}=\frac{z}{3}\Rightarrow\frac{x}{12}=\frac{z}{9}\left(2\right)\\xy+yz+xz=2484\left(3\right)\end{cases}}}\)
Từ (1)(2)\(\Rightarrow\frac{x}{12}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}=k\left(k\ne0\right)\)
\(\Rightarrow x=12k;y=8k;z=9k\)
Thay vào 3 ta có \(12.8.k^2+8.9.k^2+12.9.k^2=2484\)
\(\Rightarrow k^2\left(12.8+8.9+12.9\right)=2484\)
\(\Rightarrow k^2.276=2484\)
\(\Rightarrow k^2=9=\left(\pm3\right)^2\)
\(\Rightarrow k=\pm3\)
+Nếu k =3 thì x=36 ; y=24 ; z=27
+Nếu k = -3thì x=-36 ; y=-24 ; z=-27
Vậy \(Amin=0\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(36;24;27\right);\left(-36;-24;-27\right)\right\}\)
PN
6 tháng 9 2020
C1 : Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Suy ra được : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1< =>\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\)
\(< =>x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\ge1\)(*)
Bất đẳng thức chứng minh có thể viết theo dạng : \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
\(< =>2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)< =>2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được : \(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge1\)
\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge1< =>x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PN
6 tháng 9 2020
C2 : Ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)
Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó : \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\)(*)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :
\(\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)( Do \(xy+yz+zx=1\)) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
TN
25 tháng 2 2017
Cách giải khác:
Dư đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) thì ta được \(P_{Min}=1\)
Thật vậy cần chứng minh \(Σ\frac{1}{4x^2-yz+2}\ge1\LeftrightarrowΣ\left(\frac{1}{4x^2-yz+2}-\frac{1}{3}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{1-4x^2+yz}{4x^2-yz+2}\ge0\LeftrightarrowΣ\frac{xy+xz+2yz-4x^2}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(z-x\right)\left(2x+y\right)-\left(x-y\right)\left(2x+z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(z^2+2xy+2\right)\left(z^2-xy+2\right)\ge0\)
19 tháng 5 2021
\(gt\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
\(P=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}+z\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}+y\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-z\right)^2}+z\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\right)\)
\(\ge\dfrac{1}{xyz}\left[x.\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2}+y.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}+z.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2yz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2xz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2xy}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(1+1+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) (bunhia)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=9\)
KB
19 tháng 5 2021
Thấy : \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)>0\)
CMTT : \(\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\) ; \(\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{1}{xyz}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Ta có : \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
Mặt khác : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=y=z=9\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2021
\(4x^2+4y^2\ge8xy\)
\(16x^2+z^2\ge8zx\)
\(16y^2+z^2\ge8yz\)
Cộng vế với vế:
\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
TN
0
KH
3
3 tháng 6 2016
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
B
29 tháng 5 2022
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
2 tháng 7 2021
b, đk: \(x\ge1,y\ge2,z\ge3\)
\(=>B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{y-2}=b\\\sqrt{z-3}=c\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}x=a^2+1\\y=b^2+1\\z=c^2+1\end{matrix}\right.\)\(=>a\ge0,b\ge0,c\ge0\)
B trở thành \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)
\(=\dfrac{a^{ }}{a^2+1}+\dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{4}\)
\(-\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\)\(=0\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=0,b=0,c=0< =>x=1,y=2,z=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 7 2021
Chắc bạn ghi nhầm đề, tìm GTLN mới đúng, chứ GTNN của các biểu thức này đều hiển nhiên bằng 0
\(A=\dfrac{3.\sqrt{x-9}}{15x}\le\dfrac{3^2+x-9}{30x}=\dfrac{1}{30}\)
\(A_{max}=\dfrac{1}{30}\) khi \(x=18\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}=\dfrac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}+\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\)
\(B\le\dfrac{1+x-1}{2x}+\dfrac{2+y-2}{2\sqrt{2}y}+\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;4;6\right)\)
BT
0
