Question

[Nguyên]

Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc AD. Vẽ \(\left(O;\dfrac{BM}{2}\right)\) cắt AC tại E (E khác A). Gọi K là giao của ME và CD

Chứng mình:

a) Tam giác BME vuông cân

b) EM = ED

c) 4 điểm B, M, D, K thuộc 1 đường tròn

d) BK là tiếp tuyến của (O)

Làm 2 câu cuối hộ mình nha!~

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
a)

Theo bổ đề: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền dễ dàng suy ra $A\in (O)$ 

$\Rightarrow AMEB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MAE}=45^0$ (1)

$\widehat{BEM}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) nên $BME$ là tam giác vuông tại $E$ (2)

Từ $(1);(2)$ suy ra $BME$ là tam giác vuông cân tại $E$.

b) 

Từ kết quả phần a suy ra $EM=EB(3)$

Dễ dàng chứng minh $\triangle BEC=\triangle DEC$ (c.g.c)

$\Rightarrow BE=DE(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow EM=ED$ (đpcm)

c) 

Xét tứ giác $BECK$ có $\widehat{BEK}=\widehat{BCK}$ và cùng nhìn cạnh $BK$ nên $BECK$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{EBK}=\widehat{ECD}=\widehat{ACD}=45^0$

Do đó:

$\widehat{MBK}=\widehat{MBE}+\widehat{EBK}=45^0+45^0=90^0$

Xét tớ giác $BMDK$ có $\widehat{MBK}+\widehat{MDK}=90^0+90^0=180^0$ nên $BMDK$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra đpcm.

d) 

$\widehat{MBK}=90^0$ nên $MN\perp BK$ hay $OB\perp BK$

Do đó BK là tiếp tuyến của $(O)$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: