Hỏi đáp Hệ thức lượng

1. Gọi I chính là giao điểm của BD và AC. Ta có: AB = BC = DC = AD = AH + BH = 7+2 = 9(cm)

Xét\(\Delta AHD\left(\widehat{AHD}=90^0\right)\) theo định lý py - ta - go ta có : 

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}cm\)

Xét\(\Delta BHD\left(\widehat{BHD=90^O}\right)\)theo định lý py - ta - go ta có : 

\(BD=\sqrt{HD^2+BH^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2+2^2}=6cm\)

BI = DI =\(\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm\). Xét\(\Delta AID\left(\widehat{AID}=90^O\right)\)theo định lý py - ta - go ta có : 

\(AI=\sqrt{AD^2-DI^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2cm}\)

AC = AI.2 =\(6\sqrt{2}.2=12\sqrt{2}\)=> S_ABCD =\(\frac{1}{2}.\left(BD.AC\right)=\frac{1}{2}.\left(6.12\sqrt{2}\right)=36\sqrt{2}cm\)

Ap dung he thuc luong trong tam giac vuong \(ABC;ABH;ACH\) ta co:

\(BE\cdot BA=BH^2;CF\cdot CA=CH^2;BH.HC=AH^2\)

\(\Rightarrow CF\cdot CA\cdot BE\cdot BA=\left(CH\cdot BH\right)^2=AH^4\)

Mat khac:\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\) . Khi do:

\(CF\cdot BE\cdot AH\cdot BC=AH^4\Rightarrow CF\cdot BE\cdot BC=AH^3\)

Vay ta co dpcm

Xét \(\Delta OBC\)có: OH _|_ BC

=> \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\)hay \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}\)(*)

\(AC=m\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}m\)

\(BD=n\Rightarrow OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}n\)

Thay vào pt (*) => \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}m\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{2}n\right)^2}=\frac{4}{m^2}+\frac{4}{n^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)

\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi S₁ =S₂=S₃ <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)

Vì OI _|_ AB tại I, OK _|_ AC tại K. Do đó: \(AI=AK=\frac{a}{2}\)

Trên tia đối của tia IA lấy F sao cho IF=EK

Đặt AD=x, AE=y

Chứng minh được \(DE=\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

Ta có: \(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CE}=\frac{3}{a}\Rightarrow\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}=\frac{3}{a}\)

=> a²-2(x+y)a+3xy=0

Từ gt có: x+y < a; a=x+y+\(\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

AI+AK=AD+AE+DE; DI+EK=DE

DF=DE => OI=OH => AB=MN

Từ đó chứng minh BMNC là hình thang cân

Ta có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a thì \(R=\frac{a\sqrt{3}}{a}\) (*)

Dựng 2 tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^0;\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)

=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp 

Nên R₁;R₂ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đềuy BDF và CDG

Theo (*) ta có: \(R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3};R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}\)

Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2\ge4\cdot BD\cdot CD\)

=> BD.CD\(\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BD=CD, nghĩa là R₁;R₂ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi D là trung điểm BC

Giả sử AB là 1 cạnh của hình tám cạnh đều, gọi AB=a.

Vẽ AK là đường co của tam giác OAB

Ta có: \(\widehat{AOB}=\frac{360^o}{8}=45^o\Rightarrow OK=AK=\sin45^o=\frac{OA\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Nên KB=OB-OK=\(\frac{R\sqrt{2}}{2}-R=R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\)

Xét tam giác KAB vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

\(AB^2=AK^2+KB^2=\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left[R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\right]^2\)

\(AB^2=R^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\sqrt{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(2-\sqrt{2}\right)R^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{2-\sqrt{2}}R\)

Cot B = \(\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB=cotB.AC\)

                     \(\Rightarrow AB=2,4.5=12\left(cm\right)\)

\(BC^2=AB^2=12^2+5^2=169\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{169}=13cm\)

b) sin C \(\frac{AB}{BC}=\frac{12}{13}\)

                cos C = \(\frac{AC}{BC}=\frac{5}{13}\)

            tan C = \(\frac{AB}{AC}=\frac{12}{5}\)

               cot C = \(\frac{AC}{AB}=\frac{5}{12}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Không dùng máy tính cầm tay nha bạn -.-

\(\cos42\approx0,743\)

\(\tan42\approx0,900\)

Vậy: Tan42 > Cos42