Hỏi đáp Phương trình

Bài 1:

a) Đặt \(6x+7=y\)

\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)

\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)

Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)

\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)

\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)

Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)

Bài 3:

Ta có:

\(a_n=1+2+3+...+n\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)

\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)

\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)

Là SCP => đpcm

Bài 1.

a) ( 6x + 8 )( 6x + 6 )( 6x + 7 )² = 72

Đặt t = 6x + 7

pt <=> ( t + 1 )( t - 1 )t² = 72

    <=> ( t² - 1 )t² - 72 = 0

    <=> t⁴ - t² - 72 = 0

Đặt a = t² ( a ≥ 0 )

pt <=> a² - a - 72 = 0

    <=> a² + 8a - 9a - 72 = 0

    <=> a( a + 8 ) - 9( a + 8 ) = 0

    <=> ( a + 8 )( a - 9 ) = 0

    <=> \(\orbr{\begin{cases}a+8=0\\a-9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-8\left(loai\right)\\a=9\left(nhan\right)\end{cases}}\)

=> t² = 9 => t = ±3

=> \(\orbr{\begin{cases}6x+7=3\\6x+7=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

b) \(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=18\)

<=> \(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

ĐK : x ≠ -4 ; x ≠ -5 ; x ≠ -6 ; x ≠ -7

<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{x+7}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}-\frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

<=> \(\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

<=> x² + 11x + 28 = 54

<=> x² + 11x + 28 - 54 = 0

<=> x² + 11x - 26 = 0

<=> x² - 2x + 13x - 26 = 0

<=> x( x - 2 ) + 13( x - 2 ) = 0

<=> ( x - 2 )( x + 13 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-13\end{cases}\left(tm\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{7x+4}{\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}+\frac{2\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2\left(x+1\right)}}=3+\frac{3\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1}}\)

\(\Leftrightarrow7x+4+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)}=3\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+3\sqrt{2\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}\)

 \(\Leftrightarrow\left(7x+4+\sqrt{8x^2-4x-4}\right)^2=\left(\sqrt{18x^2-18}+\sqrt{36^2+54x+18}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(7x+4\right)^2+8x^2-4x-4+2\left(7x+4\right)\sqrt{8x^2-4x-4}\)\(=18x^2-18+36x^2+54x+18+2\sqrt{\left(18x^2-18\right)\left(36x^2+54x+18\right)}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2x+12+4\left(7x+4\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}=36\left(x+1\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2x+12=4\left(2x+5\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-2x+12\right)^2=16\left(2x+5\right)^2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow119x^4+588x^3+1940x^2-672x-544=0\left(1\right)\)

Ta thấy x>1 => Vế trái (1) \(>119.1^4+588.1^3+1940.1^2-672.1-544=1431>0\)

=> pt vô nghiệm.

đk: \(\hept{\begin{cases}x^2-2x+5\ge0\\4x+5\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ge\frac{-5}{4}\)

Ta có: \(x^3-2x^2-\sqrt{x^2-2x+5}=2\sqrt{4x+5}-5x-4\)

\(\Leftrightarrow3x^3-6x^2+15x+12-3\sqrt{x^2-2x+5}-6\sqrt{4x+5}=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+1-\sqrt{x^2-2x+5}\right)+2\sqrt{4x+5}\left(\sqrt{4x+5}-3\right)+3x^3-6x^2+4x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{12\left(x-1\right)}{x+1+\sqrt{x^2-2x+5}}+\frac{8\left(x-1\right)\sqrt{4x+5}}{\sqrt{4x+5}+3}+\left(x-1\right)\left(3x^2-3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{12}{x+1+\sqrt{x^2-2x+5}}+\frac{8\sqrt{4x+5}}{\sqrt{4x+5}+3}+3x^2-3x+1\right)=0\Leftrightarrow x=1\)

Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)

Áp dụng BĐT B.C.S:

\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)

Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)

Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)

ko biết

Pt \(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\sqrt{x^3+1}=2\left(x^3+x\right)+1\)

Đặt \(\sqrt{x^3+1}=i\)

Ta có pt : \(\left(4x-1\right)i=2i^2+1\)

\(\Leftrightarrow2i^2+\left(4x-1\right)i+2x-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}i=\frac{1}{2}\\i=2x-1\end{cases}}\)

Tới đây tự blabla tiếp:))

Đặt: \(\sqrt{2x+1}=a,\sqrt{3-2x}=b\)

Từ đó: \(\sqrt{4x-4x^2+3}=ab\)và \(4=a^2+b^2\)

Từ đó biến đổi và giải phương trình. Đây là một cách. (T chưa giải ra :V)

Hoặc là không cần đặt ẩn phụ, biến đổi luôn:

VT=\(\frac{\left(2x-1\right)^2.\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)}{\left(2x+1\right)+\left(3-2x\right)}\)

VP=\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}+\left(\sqrt{2x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-2x}\right)^2\)

=\(\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}+1\right)\)

Đến đây có vẻ đơn giản r :>

\(\frac{\left(2x-1\right)^2\left(4x^2-4x+3\right)}{4}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{4x-4x^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{\left(2x-1\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=4\left(2x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=\left[\left(2x+1\right)-\left(3-2x\right)\right]^2\) (**)

đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2a+1}=a\ge0\\\sqrt{3-2x}=b\ge0\end{cases}}\)thì phương trình (**) trở thành

\(\hept{\begin{cases}8\left(x+b\right)=\left(a^2-b^2\right)^2\\a^2+b^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8\left(a+b\right)=\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2\left(1\right)\\a^2+b^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)

từ (1) \(\Rightarrow8\left(a+b\right)=16-4a^2b^2\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=4-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=16-8a^2b^2+a^4b^4\)(***)

đặt ab=t \(\left(0\le t\le2\right)\)thì phương trình (***) trở thành

\(16+8t=16-8t^2+t^4\Leftrightarrow t\left(t+2\right)\left(t^2-2t-4\right)=0\)

\(\begin{matrix}t=0\left(tm\right)\\t=-2\left(loại\right)\\t=1+\sqrt{5}\left(loại\right)\\t=1-\sqrt{5}\left(loại\right)\end{matrix}\)vậy t=0 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=2\\\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{3-2x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

 \(x\left(5x^3+2\right)-2\left(\sqrt{2x+1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow5x^4+2x-2\sqrt{2x+1}+2=0\)

\(\Leftrightarrow5x^4+\left(2x+1-2\sqrt{2x+1}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow5x^4+\left(\sqrt{2x+1}-1\right)^2=0\)

có \(\hept{\begin{cases}5x^4\ge0\\\left(\sqrt{2x+1}-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)mà \(5x^4+\left(\sqrt{2x+1}-1\right)^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}5x^4=0\\\left(\sqrt{2x+1}-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=0\\\sqrt{2x+1}=1\end{cases}\Leftrightarrow x=0}\)

vạy x=0 là nghiệm của phương trình

Cre: Đàm Hải Ngọc

cái này dùng liên hợp dễ hơn 

\(x\left(5x^3+2\right)-2\left(\sqrt{2x+1}-1\right)=0\left(đk:x\ge-\frac{1}{2}\right)\)

\(< =>x\left(5x^3+2\right)-2.\frac{2x+1-1}{\sqrt{2x+1}+1}=0\)

\(< =>x\left(5x^3+2\right)-x.\frac{4}{\sqrt{2x+1}+1}=0\)

\(< =>x\left(5x^3+2-\frac{4}{\sqrt{2x+1}+1}\right)=0< =>x=0\)

giờ dùng đk đánh giá cái ngoặc to vô nghiệm là ok

\(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=\frac{1}{18}\left(x\ne-4;-5;-6;-7;-8\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{x}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Rightarrow x^2+11x+28=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+13\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(tm\right)\\x=-13\left(tm\right)\end{cases}}}\)

vậy x=2; x=-13

Bài làm:

đkxđ: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+13\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-13\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT \(S=\left\{-13;2\right\}\)

x² + 9x + 20 = ( x + 4 )( x + 5 )

x² + 11x + 30 = ( x + 5 )( x + 6 )

x² + 13x + 42 = ( x + 6 )( x + 7 )

=> Phương trình đã cho đưa về dạng :

\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\left(1\right)\)

ĐKXĐ : \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+7}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}-\frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x+7\right)=54\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x+28-54=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+13x\right)-\left(2x+26\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+13=0\\x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}\left(tmđk\right)}\)

Vậy S = { -13 ; 2 }

Gọi x,y lần lượt là vận tốc của ca nô và dòng nước.Do bè nứa trôi tự do nên vận tốc của bè nứa bằng vận tốc của dòng nước.Tổng thời gian đi là 14 giờ.- Vận tốc xuôi dòng là x + y- Vận tốc ngược dòng là x - y=> Ta có PT:96/x+y + 96/x−y= 14 (*)Lúc ca nô gặp bè nứa, tức là ca nô đi được 96 km xuôi dòng, 96 - 24 = 72 km ngược dòng, tốn hết quãng thời gian bằng với bè nứa trôi với vận tốc y được 24 km=> Ta có PT96/x+y + 72/x−y = 24y (**)Giải hệ phương trình (*) và (**) ta được:x = 14y = 2Vậy:- Vận tốc riêng của ca nô là 14 km/h- Vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Gọi vận tốc riêng của cano và vận tốc dòng nước lần lượt là x và y, đơn vị km/h (x>y>0)

Khi đó ta có: Vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của cano theo thứ tự là x+y và x-y (km/h)

V_bè bằng nửa V_{dòng nước} và bằng y (km/h)

Quãng đường Cano đi ngược dòng đến khi gặp bé nứa là: 96-24=74 (km)

Thời gian cano đi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là: \(\hept{\begin{cases}\frac{96}{x+y}\left(h\right)\\\frac{72}{x-y}\left(h\right)\end{cases}}\)

Thời gian bè nứa trôi đến khi gặp cano là: \(\frac{24}{y}\left(h\right)\)

Vì cano và bè nứa cùng xuất phát từ A nên thời gian chuyển động tới khi gặp lại bằng nhau.

Ta có phương trình \(\frac{96}{x+y}+\frac{72}{x-y}=\frac{24}{y}\)

Chia mẫu của 2 vế cho y ta được \(\frac{4}{\frac{x}{y}+1}+\frac{3}{\frac{x}{y}-1}=1\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}\left(t>1\right)\)ta có \(\frac{4}{t+1}+\frac{3}{t-1}=1\)

\(\Leftrightarrow4\left(t-1\right)+3\left(t+1\right)=\left(t-1\right)\left(t+1\right)\)

\(\Leftrightarrow t^2-7t=0\Leftrightarrow t\left(t-7\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=0\left(ktm\right)\\t=7\left(tm\right)\end{cases}}\)

Với t=7 ta có x=7y

Mặt khác, vì tổng thời gian đi và thời gian về của cano là 14 giờ nên ta có:

\(\frac{96}{x+y}+\frac{96}{x-y}=14\Rightarrow\frac{48}{8y}+\frac{48}{6y}=7\Rightarrow\frac{6}{y}+\frac{8}{y}=7\Rightarrow\frac{14}{y}=7\Rightarrow y=2\)

\(\Rightarrow x=14\)(km/h)

Vậy vận tốc riêng của cano là 14(km/h) và vận tốc riêng của dòng nước là 2(km/h)

@maiban5d : bạn giải phương trình (*) với (**) hộ mình với :)

\(\frac{-1}{y-1}+\frac{24}{y+2}=13\) ĐKXĐ: y khác 1; y khác 2

=> -1(y+2) + 24(y-1) = 13( y + 2 )(y-1 )

<=> -y - 2 + 24y - 24 = 13(y² - y + 2y - 2 )

<=> -y - 2 + 24y - 24 - 13y² + 13y-26y + 26 = 0

<=> -13y² + 10y = 0

<=> y( -13y + 10 ) = 0

<=> y = 0 hoặc -13y + 10 = 0

<=> y = 0 hoặc y = 10/13

Vậy S = { 0; 10/13 }

sai r,dòng thứ 2 sai

Bài làm

\(\frac{-1}{y-1}+\frac{24}{y+2}=13\)                      ĐKXĐ: y khác 1; y khác -2

\(\Rightarrow-1\left(y+2\right)+24\left(y-1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow-y-2+24y-24-13=0\)

\(\Leftrightarrow23y-39=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{39}{23}\)

Vậy y = 39/23 là nghiệm phương trình.

\(\frac{m+1}{x-1}=1-m\)

\(\Leftrightarrow m+1=\left(1-m\right)\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m+1=x-1-mx+m\)

\(\Leftrightarrow x-mx=2\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-m\right)=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{1-m}\)

Để x dương thì \(\frac{2}{1-m}>0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy m < 1