Hỏi đáp Lớn nhất - nhỏ nhất

\(S_{MNP}=S_{ABCD}-\left(S_{MNB}+S_{AMPD}+S_{CNP}\right)\) (*)

\(S_{AMPD}=\frac{\left(AM+DP\right)xAD}{2}=\frac{\left(AM+DP\right)x10}{2}=5xAM+5xDP\)

\(S_{CNP}=\frac{CPxCN}{2}=\frac{5xCP}{2}\)

\(S_{AMPD}+S_{CNP}=5xAM+5xDP+\frac{5xCP}{2}=\frac{10xAM+10xDP+5xCP}{2}=\)

\(=\frac{10xAM+5x\left(DP+CP\right)+5xDP}{2}=\frac{10xAM+5xCD+5xDP}{2}\)(**)

Từ (*) ta thấy \(S_{MNP}\) phụ thuộc vào \(S_{AMPD}+S_{CNP}\) (Do \(S_{ABCD};S_{MNB}\) không thay đổi)

\(\Rightarrow S_{MNP}\) nhỏ nhất khi (**) lớn nhât và \(S_{MNP}\) lớn nhất khi (**) nhỏ nhất

(**) lớn nhất khi DP lớn nhất, DP lớn nhất khi P trùng với C

(**) nhỏ nhất khi DP nhỏ nhất, DP nhỏ nhất khi P trùng với D

Đến đây bài toán đã tường minh bạn tự làm nốt nhé

Ta có:

\(\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}=\frac{2.\left(x^2+1\right)+2x}{x^2+1}=2+\frac{2x}{x^2+1}\)

Ta có:\(2+\frac{2x}{x^2+1}-1=1+\frac{2x}{x^2+1}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge0\)  \(\Rightarrow\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\ge1\)

\(2+\frac{2x}{x^2+1}-3=\frac{2x}{x^2+1}-1=\frac{-x^2+2x-1}{x^2+1}\)

\(=\frac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le0\) \(\Rightarrow\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\le3\)

Vậy \(1\le\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\le3\)

bạn có thể rút \(5\sqrt[5]{\frac{1}{27}}=5\sqrt{3}\)

Mấy cái này mình hong hiểu lắm :<<

Xin lỗi ~~

Đặt \(A=\frac{x^5+2}{x^3}\)

\(\Rightarrow A=x^2+\frac{2}{x^3}=\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số không âm ta được :

\(A=\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{x^2}{3}.\frac{x^2}{3}.\frac{x^2}{3}.\frac{1}{x^3}.\frac{1}{x^3}}=5\sqrt[5]{\frac{1}{27}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x^2}{3}=\frac{1}{x^3}\Leftrightarrow x^5=3\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{3}\)

!@$#%^&*()__++

tạ quang minh chi

\(M=\sqrt{x}-x\)

\(=\frac{1}{4}-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)\)

\(=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\forall x\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{3n+3}{n-3}\left(n\ne3\right)\)

\(A=\frac{3\left(n-3\right)+12}{n-3}=3+\frac{12}{n-3}\)

A có GTLN khi \(\frac{12}{n-3}\)nhỏ nhất => n-3 nhỏ nhất

=> n-3=1

=> n=4

A có GTNN khi \(\frac{12}{n-3}\)lớn nhất => n-3 lớn nhất

=> n-3 =12

=> n=15

Đặt D = 2|x - 3| + |2x - 10|

D =  |x - 3| + |x - 3| + |2x - 10|

D =  |x - 3| + |x - 3| + |10 - 2x|

Vì |x - 3| + |x - 3| + |10 - 2x| ≥ |x - 3 + x - 3 + 10 - 2x| = |4| = 4

=> Min D = 4

Dấu " = " xảy ra <=> (x - 3)(x - 3)(10 - 2x) ≥ 0

Th1: x - 3 ≥ 0 => x ≥ 3

       10 - 2x ≥ 0 => x ≤ 5

=> thỏa mãn

Th2: x - 3 ≤ 0 => x ≤ 3

       10 - 2x ≤ 0 => x ≥ 5 

=> ko thỏa mãn

Vậy min D = 4 khi 3 ≤ x ≤ 5

P/s: e 2k8 nên làm đại, ko chắc 

\(a;x^2-x=x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của bthức là -1/4 khi x=1/2

\(x^2-3x=x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(x\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy GTNN của bthức là -9/4 khi x=3/2

x² - 3/2*2x + 9/4 - 9/4

= (x - 3/2)^2 - 9/4 > -9/4

vậy_ 

\(a,x^2-x=x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

Biểu thức mang giá trị nhỏ nhất là \(\frac{-1}{4}\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

\(b,x^2-3x=x^2-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\)

\(=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\)

tươn tự câu a

 bạn giải sao

Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:

Xem câu hỏi

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)

Có: \(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

Thử cách này có phải ý bạn không:

\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)

\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)

\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)

Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)

cảm ơn bạn nhiều nhé

giả sử P đạt GTNN khi a=x, b=y; c=z. khi đó ta có:

x,y,z>0 và 4x+3y+4z=22

ta thấy với a=x; b=y; c=z thì 

\(\frac{1}{3a}=\frac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2};\frac{2}{b}=\frac{2}{y}=\frac{2}{y^2},\frac{3}{c}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z^2}\)

do đó, các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3a}+\frac{a}{3x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{a}{3a^2}}=\frac{2}{3x}\\\frac{2}{b}+\frac{2b}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot\frac{2b}{y^2}}=\frac{4}{y}\\\frac{3}{c}+\frac{3c^2}{z}\ge2\sqrt{\frac{3}{c}\cdot\frac{3c}{z^2}}=\frac{6}{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3a}\ge\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2};\frac{2}{b}\ge\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2};\frac{3}{c}\ge\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\)

và như vậy, ta đã chuyển được các phân thức về dạng bậc nhất và thu được

\(P\ge a+b+c+\left(\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2}\right)+\left(\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2}\right)+\left(\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{1}{3x^2}\right)a+\left(1-\frac{2}{y^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{z^2}\right)c+\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}+\frac{6}{z}\)

vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x,y,z thích hợp làm sao để có thể sử dụng được giả thiếu 4a+3b+4c=22

muốn vậy các hệ số của a,b,c trong đánh giá trên phải thành lập tỉ lệ 4:3:4 tức là

\(\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{1}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\)

vậy điểm rơi thực sự của bài toán chình là nghiệm của hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x+3y+4z=22\\\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\end{cases}\left(1\right)}\)

giải hệ này ta tìm được x=1; y=2; z=3. khi đó ta có:

\(P\ge\left(1-\frac{1}{3}\right)a+\left(1-\frac{2}{2^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{3^2}\right)c+\frac{2}{3}+\frac{4}{2}+\frac{6}{3}\)

\(=\frac{4a+3b+4c}{6}+\frac{14}{3}=\frac{22}{6}+\frac{14}{3}=\frac{25}{3}\)

đẳng thức xảy ra khi a=x=1; b=y=2 và c=z=3

chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:

\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)

\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)

tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)

cộng theo vế của bđt trên ta được

\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)

Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

\(4=2x+3y\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(4+9\right)\left(x^2+y^2\right)=13.\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{4}{13}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{4}{13}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}=\frac{2x+3y}{4+9}=\frac{4}{13}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow x=\frac{8}{13}\)

\(\frac{y}{3}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow y=\frac{12}{13}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{8}{13}\\y=\frac{12}{13}\end{cases}}\)

Làm lại!

\(A\le\frac{x}{2\sqrt{x^4y^2}}+\frac{y}{2\sqrt{x^2y^4}}=\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{2}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)

Vậy ...

Nhầm r,đề bảo tìm gtln mình lại đi tìm gtnn :v

Không biết bài này cô si ngược được không?

Dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = 1

Cho x = 1 hoặc y = 1

Khi đó: \(A=\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+x^2}\)

Mà \(\frac{1}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)

Cộng theo vế hai BĐT: \(A\ge\left(1+1\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\)\(\ge2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=1\)

Ta có:

\(\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)

và \(\frac{12}{48}=\frac{1}{4}\)\

nên \(\frac{9}{36}=\frac{12}{48}\)

\(\frac{9}{36}=\frac{12}{48}\)

\(A=\left(a^2\right)^2-2a^3+2a^2+a^2-4a+2+3\\ =\left(\left(a^2\right)^2-2a^2a+a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)+3\ge3\)

\(=a^2\left(a^2-2a+1\right)+2\left(a^2-2a+1\right)+3\ge3\\ =2a^2\left(a-1\right)^4+3\ge3\)

Vậy GTNN của biểu thức A là 3 tại \(a=0\)hoặc \(a=1\).

\(a^4-2a^3+3a^2-4a+5\)

\(=a^4-2a^3+a^2+2a^2-4a+2+3\)

\(=\left(a^4-2a^3+a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)+3\)

\(=\left(a^2-a\right)^2+2\left(a-1\right)^2+3\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 1 

Vậy với a = 1 thì \(A_{Min}=3\)

Đặt \(a=\sqrt{x}>0\)

Khi đó:

\(A=\frac{a+3}{a^2+a+1}\)

\(\Rightarrow A\cdot a^2+A\cdot a+A=a+3\)

\(\Leftrightarrow A\cdot a^2+\left(A-1\right)\cdot a+\left(A-3\right)=0\)

Xét \(\Delta=\left(A-1\right)^2-4\left(A-3\right)A=A^2-2A+1-4A^2+12A\)

\(=-3A^2+10A+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5-2\sqrt{7}}{3}\le A\le\frac{5+2\sqrt{7}}{3}\)

Số xấu nên không chắc