\(S_{MNP}=S_{ABCD}-\left(S_{MNB}+S_{AMPD}+S_{CNP}\right)\) (*)
\(S_{AMPD}=\frac{\left(AM+DP\right)xAD}{2}=\frac{\left(AM+DP\right)x10}{2}=5xAM+5xDP\)
\(S_{CNP}=\frac{CPxCN}{2}=\frac{5xCP}{2}\)
\(S_{AMPD}+S_{CNP}=5xAM+5xDP+\frac{5xCP}{2}=\frac{10xAM+10xDP+5xCP}{2}=\)
\(=\frac{10xAM+5x\left(DP+CP\right)+5xDP}{2}=\frac{10xAM+5xCD+5xDP}{2}\)(**)
Từ (*) ta thấy \(S_{MNP}\) phụ thuộc vào \(S_{AMPD}+S_{CNP}\) (Do \(S_{ABCD};S_{MNB}\) không thay đổi)
\(\Rightarrow S_{MNP}\) nhỏ nhất khi (**) lớn nhât và \(S_{MNP}\) lớn nhất khi (**) nhỏ nhất
(**) lớn nhất khi DP lớn nhất, DP lớn nhất khi P trùng với C
(**) nhỏ nhất khi DP nhỏ nhất, DP nhỏ nhất khi P trùng với D
Đến đây bài toán đã tường minh bạn tự làm nốt nhé
Cho các số thực a,b thỏa mãn \(a^2+b^2+ab=3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=2\left(a^3+b^3\right)-3ab\)
Đọc tiếp...Được cập nhật 13 tháng 6 2020 lúc 17:18
đặt \(t=a+b\) từ GT => \(3=t^2-ab\ge\frac{3}{4}t^2\)\(\Leftrightarrow\)\(-2\le t\le2\)
\(P=-4t^3-3t^2+18t+9=\hept{\begin{cases}\frac{-1}{4}\left(2t+3\right)^2\left(4t-9\right)-\frac{45}{4}\ge\frac{-45}{4}\left(dungvoit\le2\right)\\-\left(t-1\right)^2\left(4t+11\right)+20\le20\left(dungvoit\ge-2\right)\end{cases}}\)
\(P_{min}=\frac{-45}{4}\) tại
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+ab=3\\a+b=\frac{-3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left\{\left(\frac{-3-\sqrt{21}}{4};\frac{-3+\sqrt{21}}{4}\right);\left(\frac{-3+\sqrt{21}}{4};\frac{-3-\sqrt{21}}{4}\right)\right\}\)
\(P_{max}=20\) tại \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+ab=3\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left\{\left(2;-1\right);\left(-1;2\right)\right\}\)
CMR: \(1\le\frac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\le3.\)
Đọc tiếp...Được cập nhật 2 tháng 5 2020 lúc 14:23
Ta có:
\(\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}=\frac{2.\left(x^2+1\right)+2x}{x^2+1}=2+\frac{2x}{x^2+1}\)
Ta có:\(2+\frac{2x}{x^2+1}-1=1+\frac{2x}{x^2+1}\)
\(=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge0\) \(\Rightarrow\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\ge1\)
\(2+\frac{2x}{x^2+1}-3=\frac{2x}{x^2+1}-1=\frac{-x^2+2x-1}{x^2+1}\)
\(=\frac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le0\) \(\Rightarrow\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\le3\)
Vậy \(1\le\frac{2.\left(x^2+x+1\right)}{x^2+1}\le3\)
Đặt \(A=\frac{x^5+2}{x^3}\)
\(\Rightarrow A=x^2+\frac{2}{x^3}=\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số không âm ta được :
\(A=\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{x^2}{3}.\frac{x^2}{3}.\frac{x^2}{3}.\frac{1}{x^3}.\frac{1}{x^3}}=5\sqrt[5]{\frac{1}{27}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x^2}{3}=\frac{1}{x^3}\Leftrightarrow x^5=3\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{3}\)
bạn có thể rút \(5\sqrt[5]{\frac{1}{27}}=5\sqrt{3}\)
Mấy cái này mình hong hiểu lắm :<<
Xin lỗi ~~
tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f(x)=\(x^2+2x+\frac{16}{x+1}\)(x > -1)
Đọc tiếp...Được cập nhật 15 tháng 4 2020 lúc 20:09
\(M=\sqrt{x}-x\)
\(=\frac{1}{4}-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\forall x\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{3n+3}{n-3}\left(n\ne3\right)\)
\(A=\frac{3\left(n-3\right)+12}{n-3}=3+\frac{12}{n-3}\)
A có GTLN khi \(\frac{12}{n-3}\)nhỏ nhất => n-3 nhỏ nhất
=> n-3=1
=> n=4
A có GTNN khi \(\frac{12}{n-3}\)lớn nhất => n-3 lớn nhất
=> n-3 =12
=> n=15
Đặt D = 2|x - 3| + |2x - 10|
D = |x - 3| + |x - 3| + |2x - 10|
D = |x - 3| + |x - 3| + |10 - 2x|
Vì |x - 3| + |x - 3| + |10 - 2x| ≥ |x - 3 + x - 3 + 10 - 2x| = |4| = 4
=> Min D = 4
Dấu " = " xảy ra <=> (x - 3)(x - 3)(10 - 2x) ≥ 0
Th1: x - 3 ≥ 0 => x ≥ 3
10 - 2x ≥ 0 => x ≤ 5
=> thỏa mãn
Th2: x - 3 ≤ 0 => x ≤ 3
10 - 2x ≤ 0 => x ≥ 5
=> ko thỏa mãn
Vậy min D = 4 khi 3 ≤ x ≤ 5
P/s: e 2k8 nên làm đại, ko chắc
x2 - 3/2*2x + 9/4 - 9/4
= (x - 3/2)^2 - 9/4 > -9/4
vậy_
\(a;x^2-x=x^2-2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của bthức là -1/4 khi x=1/2
\(x^2-3x=x^2-2\cdot\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(x\Leftrightarrow x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của bthức là -9/4 khi x=3/2
a)Đặt \(A=x^2-x=x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{-1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Cho các số thực DƯƠNG a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\).
Đọc tiếp...Được cập nhật 20 tháng 7 2020 lúc 14:30
Sử dụng kết hợp hai bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM - GM, ta được: \(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a.a.1+1\right)\left(b.b.1+1\right)\)\(\le\left(\frac{a^3+a^3+1}{3}+1\right)\left(\frac{b^3+b^3+1}{3}+1\right)=\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\)(2); \(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\)\(\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{3}{2}\)(Áp dụng BĐT AM - GM)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
bạn giải sao
Chứng minh BĐT Cauchy-schwarz:
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(P=a^2+2b^2+3c^2=a^2+\frac{b^2}{\frac{1}{2}}+\frac{c^2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{11}{6}}=\frac{6}{11}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=3c\)
\(\Leftrightarrow b=\frac{3}{2}c\)
Có: \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow3c+\frac{3}{2}c+c=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}c=1\Leftrightarrow c=\frac{2}{11}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3c=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{2}c=\frac{3}{11}\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)
Thử cách này có phải ý bạn không:
\(P=\left(a^2+\frac{36}{121}\right)+\left(2b^2+\frac{18}{121}\right)+\left(3c^2+\frac{12}{121}\right)-\frac{6}{11}\)
\(\ge2\sqrt{a^2.\frac{36}{121}}+2\sqrt{2b^2.\frac{18}{121}}+2\sqrt{3c^2.\frac{12}{121}}-\frac{6}{11}\)
\(=\frac{12\left(a+b+c\right)}{11}-\frac{6}{11}=\frac{12}{11}-\frac{6}{11}=\frac{6}{11}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{36}{121}\\2b^2=\frac{18}{121}\\3c^2=\frac{12}{121}\end{cases}}\) và a,b,c > 0 tức là \(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\) (t/m)
Vậy \(P_{min}=\frac{6}{11}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{6}{11}\\b=\frac{3}{11}\\c=\frac{2}{11}\end{cases}}\)
Bạn có thể dùng cách cân bằng hệ số rồi dùng BĐT AM-GM được không?
giả sử P đạt GTNN khi a=x, b=y; c=z. khi đó ta có:
x,y,z>0 và 4x+3y+4z=22
ta thấy với a=x; b=y; c=z thì
\(\frac{1}{3a}=\frac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2};\frac{2}{b}=\frac{2}{y}=\frac{2}{y^2},\frac{3}{c}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z^2}\)
do đó, các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3a}+\frac{a}{3x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{a}{3a^2}}=\frac{2}{3x}\\\frac{2}{b}+\frac{2b}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot\frac{2b}{y^2}}=\frac{4}{y}\\\frac{3}{c}+\frac{3c^2}{z}\ge2\sqrt{\frac{3}{c}\cdot\frac{3c}{z^2}}=\frac{6}{z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3a}\ge\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2};\frac{2}{b}\ge\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2};\frac{3}{c}\ge\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\)
và như vậy, ta đã chuyển được các phân thức về dạng bậc nhất và thu được
\(P\ge a+b+c+\left(\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2}\right)+\left(\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2}\right)+\left(\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\right)\)
\(=\left(1-\frac{1}{3x^2}\right)a+\left(1-\frac{2}{y^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{z^2}\right)c+\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}+\frac{6}{z}\)
vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x,y,z thích hợp làm sao để có thể sử dụng được giả thiếu 4a+3b+4c=22
muốn vậy các hệ số của a,b,c trong đánh giá trên phải thành lập tỉ lệ 4:3:4 tức là
\(\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{1}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\)
vậy điểm rơi thực sự của bài toán chình là nghiệm của hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x+3y+4z=22\\\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\end{cases}\left(1\right)}\)
giải hệ này ta tìm được x=1; y=2; z=3. khi đó ta có:
\(P\ge\left(1-\frac{1}{3}\right)a+\left(1-\frac{2}{2^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{3^2}\right)c+\frac{2}{3}+\frac{4}{2}+\frac{6}{3}\)
\(=\frac{4a+3b+4c}{6}+\frac{14}{3}=\frac{22}{6}+\frac{14}{3}=\frac{25}{3}\)
đẳng thức xảy ra khi a=x=1; b=y=2 và c=z=3
chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:
\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)
\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)
tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)
cộng theo vế của bđt trên ta được
\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)
Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
\(4=2x+3y\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(4+9\right)\left(x^2+y^2\right)=13.\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{4}{13}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{4}{13}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}=\frac{2x+3y}{4+9}=\frac{4}{13}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow x=\frac{8}{13}\)
\(\frac{y}{3}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow y=\frac{12}{13}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{4}{13}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{8}{13}\\y=\frac{12}{13}\end{cases}}\)
Cho x>y>0 thỏa mãn xy=1. Tìm GTLN
\(A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
Đọc tiếp...Được cập nhật 31 tháng 12 2019 lúc 22:33
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\le\frac{x}{2.\sqrt{x^4.y^2}}+\frac{y}{2.\sqrt{x^2y^4}}=\frac{x}{2.x^2y}+\frac{y}{2.x.y^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{2}{2xy}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=y^4\\x^4=y^2\end{cases}\Leftrightarrow x^2.x^4=y^2.y^4\Leftrightarrow x^6=y^6\Leftrightarrow}x=y=1\left(x,y>0\right)\)
Vậy \(A_{max}=1\Leftrightarrow x=y=1\)
Không biết bài này cô si ngược được không?
Dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = 1
Cho x = 1 hoặc y = 1
Khi đó: \(A=\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Mà \(\frac{1}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT: \(A\ge\left(1+1\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\)\(\ge2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=1\)
Nhầm r,đề bảo tìm gtln mình lại đi tìm gtnn :v
\(\frac{9}{36}=\frac{12}{48}\)
Ta có:
\(\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)
và \(\frac{12}{48}=\frac{1}{4}\)\
nên \(\frac{9}{36}=\frac{12}{48}\)
...
Dưới đây là những câu có bài toán hay do Online Math lựa chọn.
....