Hỏi đáp Lượng giác

Ta có: \(\tan^2x+\cot^2x=2\)

\(\Leftrightarrow\tan^2x+2+\frac{1}{\tan^2x}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\tan x+\frac{1}{\tan x}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x.\cos x}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sin x.\cos x}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow4.\sin^2x.\cos^2x=1\)

\(\Leftrightarrow\sin^22x=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sin2x=1\\\sin2x=-1\end{cases}}\Rightarrow2x=\left(2n-1\right)\cdot\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow x=\left(2n-1\right)\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\) (với n là số tự nhiên)

\(\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin2x+1\right)=3-4\cos^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin2x+1\right)=3-4\left(2-\sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin2x+1\right)=4\sin^2x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin2x+1\right)=\left(2\sin x-1\right)\left(2\sin x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sin2x+1=2\sin x+1\)

\(\Leftrightarrow\sin2x=\sin x\)

\(\Leftrightarrow\sin2x-\sin x=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\frac{3}{2}-\cos\frac{x}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\cos\frac{3}{2}=0\\\cos\frac{x}{2}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{cases}\left(k\inℤ\right)}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}k\\x=\pi+4k\pi\end{cases}\left(k\inℤ\right)}\)

lm trên symbolab.com

=> 2sinx.cosx = 2m - 6

=> sin2x = 2m - 6

=> -1<= 2m -6<= 1

Ta có: 

\(-1\le\sin2x\le1\)

=> \(\sqrt{4-2.\left(1\right)^5}-8\le\sqrt{4-2.\left(\sin2x\right)^5}-8\le\sqrt{4-2.\left(-1\right)^5}-8\)

=> \(\sqrt{2}-8\le\sqrt{4-2.\left(\sin2x\right)^5}-8\le\sqrt{6}-8\)

=> tìm ddc min và max

Cách của mình:

Cho tam giác ABC có AB=n-1 AC=n và BC=n+1

Điều kiện: n>2

và \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\)

TH1: \(\widehat{A}=2\widehat{C}\)

tam giác ABC có: \(\frac{n+1}{sinA}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{sin2C}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{2\cdot cosC\cdot sinC}=\frac{n-1}{sinC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{n+1}{2\cdot cosC}=n-1\)

\(\Rightarrow2\cdot cosC=\frac{n+1}{n-1}\)(1)

Đồng thời theo hệ thức Cosin:

\(n^2+\left(n+1\right)^2-2n\left(n+1\right)\cdot cosC=\left(n-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\cdot cosC=n^2+4n=\frac{n\left(n+4\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n+4}{n+1}\)(2)

Từ (1) và (2):

Suy ra: n=5(thỏa)

Suy ra tam giác có cạnh là 4;5;6

Xét tiếp TH2: \(\widehat{A}=2\widehat{B}\)

TH3: \(\widehat{B}=2\widehat{C}\)

Cần 1 cách hay khác! Cảm ơn!

Có số đo gấp đôi góc còn lại nha! Ghi nhầm

\(\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow a=60^o\)

\(\Rightarrow\cos a=\frac{1}{2}\); \(\tan a=\sqrt{3}\); \(\cot a=\frac{1}{\sqrt{3}}\)