Hỏi đáp Hệ phương trình

Sửa đề một chuts\(\hept{\begin{cases}x^3+3xy^2=4\left(1\right)\\y^3+3x^2y=4\left(2\right)\end{cases}}\)

( 1 ) + ( 2 ) = \(x^3+3xy^2+y^3+3x^2y=4+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-2^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+2^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2+2xy+y^2+2x+2y+4\right)=0\)

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé :)

Sửa đề\(\hept{\begin{cases}x^3+3xy^2=4\\y^3+3x^2y=4\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=8\\x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^3=8\\\left(x-y\right)^3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\x-y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

a) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+1+1}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\\frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+\frac{1}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\\frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{cases}}}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x+1};b=\frac{1}{y-2}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+a+2b=6\\5a-b=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+2b=5\\5a-b=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}=1\\\frac{1}{y-2}=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}}\)

b) ĐK: \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne1\end{cases}}\)

\(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)\left(x^2-2x+4\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)=0\Leftrightarrow x=0\)(loại)

, x=2 , x²-2x+4=0 (3)

pt(3) vô nghiệm vì \(\Delta'=1-4=-3< 0\)

Thay x=2 vào pt(2) ta được \(\frac{1}{2}+\frac{1}{y-2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{y-1}=1\Leftrightarrow y-1=1\Leftrightarrow y=2\left(tm\text{đ}k\right)\)

Vậy nghiệm của hpt là: (x;y)=(2;2)

b) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne1\end{cases}}\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)\left(x^2-2x+4\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)=0\Leftrightarrow x=0\left(L\right),x=2\left(T\right)\)\(,x^2-2x+4=0\left(3\right)\)

pt(3) VÔ NGHIỆM vì \(\Delta'=1-4=-3< 0\)

Thay x=2 vào pt (2) ta được: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{y-1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{y-1}=1\Leftrightarrow y-1=1\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\)

Vậy nghiệm của hệ pt là(x;y)=(2;2)

Ta có: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^2+y^2+z^2+2.1=x^2+y^2+z^2+2\left(2y^2-3z^2\right)\)\(=x^2+5y^2-5z^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-x^2+5\left(z-y\right)\left(z+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y+z\right)\left(y+z\right)+5\left(z-y\right)\left(z+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(2x+y+z+5z-5y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(2x-4y+6z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x-2y+3z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-z\\x-2y+3z=0\end{cases}}\)

Với y=-z ta có: \(2y^2-3z^2=1\Rightarrow2y^2-3y^2=1\Leftrightarrow-y^2=1\)( do \(y^2\ge0\)) => pt  vô nghiệm

Ta có: \(\sqrt{8x-y+5}+\sqrt{x+y-1}=3\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow8x-y+5+x+y-1+2\sqrt{\left(8x-y+5\right)\left(x+y-1\right)}=9x+12\sqrt{x}+4\)

\(\Leftrightarrow9x+4+2\sqrt{8x^2-y^2+7xy-3x+6y-5}=9x+4+12\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{8x^2-y^2+7xy-3x+6y-5}=6\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow8x^2-y^2+7xy-3x+6y-5=36x\)

\(\Leftrightarrow8x^2-y^2+7xy-39x+6y-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(8x^2+8xy-40x\right)-y^2-xy-5+x+6y=0\)

\(\Leftrightarrow8x\left(x+y-5\right)-\left(y^2+xy-5y\right)+\left(x+y-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-5\right)\left(8x-y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=5-x\\y=8x+1\end{cases}}\)

Thay vào pt dưới ta có:

\(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{8x-y+5}\left(1\right)\)

+) với y=5-x (1) thành:

\(\sqrt{x\left(5-x\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{8x-\left(5-x\right)+5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5x-x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{9x}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{5x^2-x^3}+1=3x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{5x^2-x^3}=3x-1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{3}\\5x^2-x^3=9x^2-6x+1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{3}\\x^3+4x^2-6x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{3}\\x=1\left(tm\right)\end{cases}}}\)

Với x=1=>y=4

a) \(\left(xy+1\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy+1=5\\xy+1=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy=4\\xy=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{4}{y}\\x=-\frac{6}{y}\end{cases}}\)

+ Nếu: \(x=\frac{4}{y}\Leftrightarrow\left(\frac{4}{y}+y\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow y^2+8+\frac{16}{y^2}=49\)

\(\Leftrightarrow\frac{y^4+16}{y^2}=41\)

\(\Leftrightarrow y^4-41y^2+16=0\) => y vô tỉ (loại)

+ Nếu: \(x=-\frac{6}{y}\Rightarrow\left(y-\frac{6}{y}\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow y^2+\frac{36}{y^2}=49+12\)

\(\Leftrightarrow y^4-61y^2+36=0\) => y vô tỉ (loại)

=> hpt vô nghiệm

b) tương tự

trần huy nhật, Phạm Mai Anh: trmúa hmề =))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

ko giải luôn

Nhờ người khác giúp mà nói năng như thế thì mình cũng chịu bạn rồi. Định giúp bạn làm bài, nhưng mà thôi ko giúp nữa.

Ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2=1\\2x^3+6xy^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2y^2=1-2x^2\left(1\right)\\2x^3+6xy^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Dễ thấy \(y=0\) không là nghiệm nên thế (1) và (2) ta có : \(2x^3+3.x.\left(1-2x^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4x^3-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

+) Với \(x=-1\) thì ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(-1\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(-1+y\right)^3+\left(-1-y\right)^3=1\end{cases}}\) ( Vô nghiệm )

+) Với \(x=\frac{1}{2}\) thì ta có : \(\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\pm\frac{1}{2}\). Thỏa mãn hệ phương trình.

Vậy hệ pt có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left\{\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}\)

\(\hept{\begin{cases}43x+2y=4310\\x-y+\sqrt{x}=105\end{cases}}\left(đk:x\ge0\right)\)

\(< =>\hept{\begin{cases}43x+2y=4310\\2x-2y+2\sqrt{x}=210\end{cases}}\)

Cộng 2 pt lại ta được : \(43x+2y+2x-2y+2\sqrt{x}=4310+210\)

\(< =>45x+2\sqrt{x}=4520\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\)khi đó 

\(45t^2+2t=4520< =>45t^2+2t-4520=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x=10\\x=-\frac{452}{45}\end{cases}}\)

Với \(x=10\)thì \(43x+2y=4310\)

\(< =>430+2y=4310< =>2x=4310-430\)

\(< =>2y=3880< =>y=1940\)

Tương tự với \(x=-\frac{452}{45}\)thì ta có \(y=\frac{42043}{15}\)

Vậy hệ phương trình trên có tập nghiệm là \(\left\{10;1940\right\}\left\{\frac{-452}{45};\frac{42043}{15}\right\}\)

mình nhầm rồi sửa từ dòng 7 @@ lú quá 

\(< =>\hept{\begin{cases}t=10\\t=-\frac{452}{45}\left(loại\right)\end{cases}}\)

Với \(t=10< =>x=100\)

\(< =>43.100+2y=4310\)

\(< =>2y=10< =>y=5\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=100\\y=5\end{cases}}\)

bn này kêu bn là "trên p/s m có bị ngu ko?" mà vẫn trl câu hỏi của bn này à?? :D??

\(\hept{\begin{cases}x^3=2y+1\\y^3=2x+1\end{cases}\Rightarrow x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)

khi đó ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^3-2x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\\left(x^2+1\right)-2\left(x+1\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\\left(x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0\end{cases}}}\)

th1: x=y=-1

th2: \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2-x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}}}\)

vậy \(\orbr{\begin{cases}x=y=-1\\x=y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Đỗ Nguyễn Phương Thùy \(x^2+xy+y^2+2=\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+2>0\) chứ ko phải cosi 

\(y^3=2y+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(y+1\right)\left(y^2-y-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y_1=-1\\y_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

giải nè,ko hiểu vào hỏi mk nha^-^,từ phương trình ban đầu ta chuyển vế,được

\(\hept{\begin{cases}x^3-2y-1=0\\y^3-2x-1=0\end{cases}}\) =>ta dùng" phương pháp cộng đại số"lấy phương trình trên trừ đi phương trình dưới!!!!!                                            nghe vô lý nhưng thuyết phục,hehe=> x³ - y³ - 2y + 2x = 0

               triển đẳng thức   => (x - y)(x² + xy + y²) -2(y - x) =0    =>(x - y)(x² + xy + y² )+ 2( x - y) = 0 

                     => (x - y)(x² + xy + y² + 2) =0 (vì x² + y² luôn > 2xy theo bất đẳng thức cô si,nên suy ra  x² + xy +y² +2 luôn lớn hơn 0)

                     => phương trình trên sẽ có nghiệm x - y =0; => x = y                 

thay x = y vào hệ phương trình bên trên...ta có  :y³ = 2y +1  => y³ + y² = y² +2y +1

                                                                           => y²( y + 1) = ( y + 1)²  => y² = y + 1 => y² - y -1=0,giải denta,ta được 2 nghiệm y₁;y₂

                  y₁  = x₁ = \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)    Và  y₂ = x₂ =\(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

                                 Vạy hệ phương trình trên có nghiệm...bla...bla..oki..vậy nhá,sai khúc nào mong bạn bỏ qua nha!

\(\hept{\begin{cases}3\left(x-1\right)+2\left(x-2y\right)=10\\4\left(x-2\right)-\left(x-2y\right)=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-3+2x-4y-10=0\\4x-8-x+2y-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\left(1\right)\\3x+2y-10=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân 2 vào từng vế của ( 2 ) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\\6x+4y-20=0\end{cases}}\)

Lấy ( 1 ) cộng ( 2 ) theo vế

\(\Rightarrow11x-33=0\Leftrightarrow11x=33\Leftrightarrow x=3\)

Thế x = 3 vào ( 1 ) 

=> \(5\cdot3-4y-13=0\Rightarrow4y=2\Leftrightarrow y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

Vậy ( x ; y ) = ( 3 ; 1/2 ) 

\(\hept{\begin{cases}3\left(x-1\right)+2\left(x-2y\right)=10\\4\left(x-2\right)-\left(x-2y\right)=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-3+2x-4y=10\\4x-8-x+2y=2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-13-4y=0\\3x-10+2y=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-13-4y=0\\6x-20+4y=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11x-23=0\\3x-10+2y=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{23}{11}\left(1\right)\\3x-10+2y=0\left(2\right)\end{cases}}}\)

Thay x vào pt 2 ta đc 

\(3.\frac{23}{11}-10+2y=0\Leftrightarrow\frac{69}{11}-10+2y=0\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{41}{22}\)

Vậy \(\left\{x;y\right\}=\left\{\frac{23}{11};\frac{41}{22}\right\}\)

                                        \(\text{Bài làm}:\)

\(\text{Ta có :}\)

\(\hept{\begin{cases}3\left(x-1\right)+2\left(x-2y\right)=10\\4\left(x-2\right)-\left(x-2y\right)=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x-3+2x-4y=10\\4x-8-x+2y=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-3=10\left(1\right)\\3x-8+2y=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\\3x+2y-10=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\\2\left(3x+2y-10\right)=2.0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x-4y-13=0\left(1\right)\\6x+4y-20=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-4y-13\right)+\left(6x+4y-20\right)=0+0\)

\(\Leftrightarrow5x-4y-13+6x+4y-20=0\)

\(\Leftrightarrow11x-33=0\)

\(\Leftrightarrow11x=33\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Thay x=3 vào (1) ta được :

\(5.3-4y-13=0\)

\(\Leftrightarrow15-4y-13=0\)

\(\Leftrightarrow2-4y=0\)

\(\Leftrightarrow4y=2\)

\(\Leftrightarrow y=0,5\)

\(\text{Vậy}\hept{\begin{cases}x=3\\y=0,5\end{cases}}\)

Chúc bạn học tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

pt đầu 

<=> \(\left(x+1\right)^3-y^3+3\left(x+1\right)-3y=0\)

<=> \(\left(x+1-y\right)\left(\left(x+1\right)^2+y\left(x+1\right)+y^2+3\right)=0\)

<=> \(x+1-y=0\)

vì \(\left(\left(x+1\right)^2+y\left(x+1\right)+y^2+3\right)>0,\forall x;y\)

<=> y = x + 1 

Thế vào phương trinhd dưới rồi giải

\(x^2+\left(x+1\right)^2-3x-1=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Với x = 0 ta suy ra y = 1

Với x = 1/2 suy ra y = 3/2

Kết luận:...

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^3+xy+6y\ge0\\y^3+x^2-1\ge0\end{cases}}\)

Ta có pt (1) \(\Leftrightarrow10x^2-2x\left(y+19\right)+5y^2-6y+41=0\)

Tính \(\Delta'_x=-49\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)thay vào (1) ta được x=2 thỏa mãn hệ phương trình

KL: S={(2;1)}

:))

\(10x^2+5y^2-2xy-38x-6y+41=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1\right]+\left(9x^2-36x+36\right)+\left(4y^2-6y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(3x-6\right)^2+\left(2y-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2;y=1\)

Sao tìm luôn được nghiệm nhỉ :V chả nhẽ phương trình ( 2 ) chỉ để thử nghiệm thôi sao ?

\(\hept{\begin{cases}x^3-x=x^2y-y\left(1\right)\\\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-5\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{y}+2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

điều kiện: \(y\ge0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=\pm1\end{cases}}\)

-nếu x=\(\pm\)1 thay vào phương trình (2) ta có: \(\sqrt{y}-1=0\Leftrightarrow y=1\)

-nếu \(x=y\ge0\)

khi đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-4\sqrt{x}+2=0\left(3\right)\)

do \(2\left(x^4+1\right)\ge2\cdot2\sqrt{x^4\cdot1}=4x^2\Rightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}\ge2\left|x\right|=2x\)

nên \(VT\left(3\right)\ge2\left(x-2\sqrt{x}+1\right)=2\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\)

do đó \(pt\left(3\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=1\\\sqrt{x}-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(1,1\right);\left(-1;1\right)\right\}\)

A! anh em lớp 12 đấy khi nào em lên Hoà Bình đã

\(\hept{\begin{cases}3x^2-2y^2-xy+12x-17y-15=0\left(1\right)\\\sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-x^2}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\left(2\right)\end{cases}}\)

PT (1) \(\Leftrightarrow3x^2-x\left(y-12\right)-2y^2-17y-15=0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(y-12\right)^2+4\cdot3\cdot\left(2y^2+17y+15\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=y^2-24y+144+24y^2+204y+180\)

\(\Leftrightarrow\Delta=25y^2+180y+324\)

\(\Delta=\left(5y+18\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{y-12+5y+18}{3}=2y+2\\x=\frac{y-12-5y-18}{3}=\frac{-4y}{3}-10\end{cases}}\)

\(x=2y+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{6-x-x^2}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-2y}+\sqrt{6-2y-2-4y^2-8y-4}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-2y}+\sqrt{-4y^2-10y+0}=y+\sqrt{2y+5}-\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=2\)

Vậy (x;y)=(2;0)