Giúp tôi giải toán và làm văn

Theo Schur thì ta có:

\(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Giờ ta chứng minh:

\(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge\frac{9abc}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM

vũ tiền châu tham khảo nhé:

  Ta có: 3 = ab + bc + ca ≥ 3.³√(abc) = > abc ≤ 1 <=> 1 - abc ≥ 0 
1 + a²(b + c) = 1 + a(ab + ac) = 1 + a(3 - bc) = 1 - abc + 3a ≥ 3a 
=> 1/[1 + a²(b + c)] ≤ 1/(3a) 
Tương tự: 
1/[1 + b²(c + a)] ≤ 1/(3b) 
1/[1 + c²(a + b)] ≤ 1/(3c) 
Cộng vế 3 bđt trên đc: 
VT đpcm ≤ 1/3 . (1/a + 1/b + 1/c) = 1/3 . (ab + bc + ca)/abc = 1/3 . 3/abc = 1/abc (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1

bài này la bài khác nha:

\(a^2+ab+b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\)

\(=\left(x+y\right)\left(a^2+b^2\right)+2\left(x-y\right)ab\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x-y=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow a^2+ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\)

ĐKXĐ: \(a,b\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Có: \(A=\frac{a+b}{2}\ge\frac{2.\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}=B\)

                                                         đpcm

Tham khảo nhé~

cảm ơn!

( 245 , 55 + 185 , 45 ) : 2 =215,5

(245,55+185,45):2=215,5

Bài này chỉ giải được khi sức mỗi người làm bằng nhau thôi nha bạn .

   Mỗi ngày mỗi người làm được :

       9 : 25 : 3 = 0,12 ( m )

   Nếu đội đó có 5 người thì mỗi ngày đội làm được :

      0,12 . 5 = 0,6 ( m )

   Đội đó làm 18 m trong :

     18 : 0,6 = 30 ( ngày )

  đ/s : ...

Mỗi ngày 1 người làm được số m là :

  ( 9 : 25 ) : 3 = 0,12 ( m )

Nếu đội có thêm 5 người thì mỗi ngày đội làm được số m là :

  0,12 x 5 = 0,6 ( m )

Đội đó làm 18 m trong số ngày là :

  18 : 0,6 = 30 ( ngày )

giải hộ mình

1) Phân tích A ra :

 A= 17¹⁷.17+\(\frac{1}{17^{18}.17}\)+1 So sánh với B ta có: A có 17¹⁸>17¹⁷ của B nhưng B lại có 1/17¹⁸>1/17¹⁹.

Mà 17¹⁸>1/17¹⁸ nên suy ra A>B

2) Bài nay tương tự bài trên. 

trung nguyên làm bài j vậy

\(A< B\hept{\begin{cases}\\\end{cases}ko}biết\)

\(\frac{2y+3z+5}{1+x}+1+\frac{3z+x+5}{1+2y}+1+\frac{x+2y+5}{1+3z}+1\ge\frac{51}{7}+3=\frac{72}{7}\left(1\right)\)

Vậy ta cần chứng minh Bđt (1) , ta có:

\(VT_{\left(1\right)}=\frac{2y+3z+6+x}{1+x}+\frac{3z+x+2y+6}{1+2y}+\frac{x+2y+3z+6}{1+3z}\)

\(=\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+3z}\right)\)

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:

\(\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{3z}\right)\)

\(\ge\left(3z+x+2y+6\right)\left(\frac{9}{3+x+2y+3z}\right)\)

\(=\left(18+6\right)\cdot\frac{9}{18+3}=24\cdot\frac{3}{7}=\frac{72}{7}\)

Vậy Bđt (1) đúng =>Đpcm

Từ giả thiết suy ra \(\frac{2b}{1+b}=1-\frac{a}{1+a}=\frac{1}{1+a}\to2b+2ab=1+b\to2ab+b=1.\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si \(1=2ab+b\ge2\sqrt{2ab\cdot b}=2\sqrt{2ab^2}\to1\ge8ab^2\to ab^2\le\frac{1}{8}.\)  (ĐPCM)

Áp đụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz , ta có :

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)

Tương tự , ta có:

\(\frac{bc}{b+3c+2a}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2c}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)\)

\(\frac{ac}{c+3a+2b}=\frac{ac}{\left(b+c\right)+\left(b+a\right)+2b}\le\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(\frac{ac}{c+3a+2b}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ab}{a+3b+2c}\)

\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{bc}{a+b}\right)+\frac{a}{18}+\frac{b}{18}+\frac{c}{18}\)\(=\frac{a+b+c}{6}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Bạn xem câu hỏi số 184919 nha

helloww ư zxcdc

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{2y+x+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Cộng theo vế:

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow3+c^2\ge ab+bc+ac+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{3+c^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Thiết lập tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\le\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\\\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}}{2}\\\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)+\left(\frac{ac}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ab}{a+c}\right)}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm ) 

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\cdot9=3\)

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\). Tương tự cũng có: 

\(\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

vẻ vang gì 100% sai

đề đúng Câu hỏi của Neet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Phan Văn Long - Trang của Phan Văn Long - Học toán với OnlineMath không thấy dưới mẫu là tích của 3 thừa số hả. Cộng lúc nào mà nói như đúng rồi.

Hỏi nhanh thế

11 phút trước (15:52)

Cho a,b >0 và a+b=1. chứng minh rằng: (a+1a )2+(b+1b 2)≥12,5

Mình cần gấp, ai làm nhanh và đúng nhất được 3 ks!

Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo

Toán lớp 9 Bất đẳng thức

VKOOK_BTS

Trả lời

0

Đánh dấu

8 phút trước (15:31)

Ta có : \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\)

Ta lại có : \(x^2+y^2\le2xy\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\)

               \(y^2+z^2\le2yz\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\)    

              \(z^2+x^2\le2zx\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{y^2}{2zx}\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}+3\)

\(\Rightarrowđpcm\)