Giúp tôi giải toán và làm văn

lúc đầu định đăng cái khác nhma đề sai nên gỡ xuống

ko đăng linh tinh nha bạn

Cho (a-b)+6ab=36.Tìm GTLN của x=ab

Ta có: \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)

Giải bất phương trình

Cuối cùng ta được: \(\left(c-a\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)+2\left(b-c\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\right)+\left(a-b\right)^2\) \(\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)

BĐT đúng <=> a = b = c

Đề đúng là \(T=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\) và \(b^2+1\ge2b\) (chứng minh cái này chắc dễ)

\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\left(2\right)\)và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta có:

\(T\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}\)(đpcm)

Dấu = khi \(a=b=c=1\)

Ta co:

\(\sqrt{2\left(b+1\right)}\le\frac{b+3}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{2\left(b+1\right)}}\ge\frac{2a}{b+3}\)

Tuong tu:\(\frac{b}{\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{2b}{c+3};\frac{c}{\sqrt{2\left(a+1\right)}}\ge\frac{2c}{a+3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\)

\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\)

\(=\frac{a^2}{ab+3a}+\frac{b^2}{bc+3b}+\frac{c^2}{ca+3c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}=\frac{9}{\frac{9}{3}+9}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\ge\frac{3}{2}\)

Hay \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dau '=' xay ra  khi \(a=b=c=3\)

Ta có : \(\frac{9}{4}=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a+b+2\ge3\Leftrightarrow a+b\ge1\)

Áp dụng BĐT Mincopxki , ta có : \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1^2+1^2\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^4}\ge\sqrt{\frac{17}{4}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy minP = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

dòng cuối cho mk suwara a=b=1/2

1/2 nha bạn

Áp dụng Côsi: \(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.a^4.1}=4a^3\)

Tương tự: \(3b^4+1\ge4b^3;3c^4+1\ge4c^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\)

Ta cần chứng minh: \(a^3+b^3+c^3\ge3\)

Ta có: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3+b^3+c^3-3\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Nhìn bên phải, bấm vô thống kê hỏi đáp ạ, VÀO TRANG CÁ NHÂN CỦA E Em bức xúc lắm anh chị ạ, xl mấy anh chị vì đã gây rối Thiệt tình là ko chấp nhận nổi con nít ms 2k6 mà đã là vk là ck r ạ, bày đặt yêu xa, chưa lên đại học Đây là \'tội nhân\' https://olm.vn/thanhvien/nhu140826 và https://olm.vn/thanhvien/trungkienhy79

Ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{\left(b-1\right).1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\)  \(a\sqrt{b-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có:  \(b\sqrt{a-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(2\right)\)

Cộng hai bđt trên, suy ra đpcm

À có ai không hiểu gì thì hỏi nha! Còn ai muốn click "đúng" cho anh thì cho anh cảm ơn!

Cách khác cho bài đầu: 

Ta có: \(a+b=6-c\le5\)

\(a^2+b^2+c^2=a.a+b.b+c.c\)

\(=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)

\(\le\left(a-b\right).3+5\left(b-c\right)+6c\)

\(=3a+2b+c=\left(a+b+c\right)+a+\left(a+b\right)\)

\(\le6+3+5=14\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;1\right)\) và các hoán vị của nó.

Cách này dường như ez hơn ấy nhỉ? Mà đúng không ta:3

À hình như quên, bài ban nãy cần giả sử \(3\ge a\ge b\ge c\ge1\) và em không chắc đâu nha!:v

Bài 2:

Áp dụng Bdt Cauchy-Schwarz dạng engel, ta có

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

Mà theo Bđt cosi 

\(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left[\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(a+c\right)\left(b+d\right)+\left(a+d\right)\left(b+c\right)\right]}\ge\frac{2}{3}\)

cảm ơn bạn vì đã giúp mình tìm hiểu thêm câu hỏi

a) bđt cosi

b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)

\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)

=> đpcm

c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)

d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html

nè ngại làm

`\(ApdungBDT..SCHWARS\) 

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)

shitbo: Dấu "=" khi nào em ? Đề cho \(a>b>c>0\). Anh nghĩ đề sai :v

:vvvv

Cần sửa đề : cho \(a\ge b\ge c>0\).

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(VT=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có

\(a^4+b^4+c^4-abc\left(a+b+c\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left[\left(ab+bc+ac\right)^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\right]-a^2bc-ab^2c-abc^2\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+abc\left(4a+4b+4c-a-b-c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^4-2\left(a+b+c\right)^2.2\left(ab+bc+ac\right)+4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2+abc\left(3a+3b+3c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^4-4\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ac\right)^2+3abc\ge0\)

Ap dung BDt co si ta co

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(b^4+c^4\ge2b^2c^2\)

\(c^4+a^4\ge2a^2c^2\)

=> \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)

Lai co \(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\)

          \(b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\)

          \(c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)

=> \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(2)

Từ (1) va (2) => \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

CM A^4 +B^4+C^4-ABC(A+B+C)>=0 LÀ ĐC