Edogawa Conan CTV 4 giờ trước (21:30)Từ: \(xy+yz+xz=xyz\) <=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(A=\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{2x+y+2z}\)
Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (tự cm đúng)
Ta có: \(\frac{1}{x+2y+3z}=\frac{1}{x+z+2y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2z}\right)\) (1)
CMTT: \(\frac{1}{2x+3y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{z}+\frac{3}{2y}\right)\) (2)
\(\frac{1}{3x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế
\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)
\(A\le\frac{3}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y+2z\\z=2x+y\\y=x+2z\end{cases}}\) <=> x = y = z = 0
mà x;y;z > 0 => Dấu "=" ko xảy ra
=> A < 3/16
Dao Van Thinh 3 giờ trước (22:58)Nhân cả 2 vế với 2căn a rồi dùng bất đẳng thức cosi
Dao Van Thinh 11 giờ trước (15:03)Ta có
\(a(a+b)(a+c)(a+b+c) +b^2c^2= (a^2+ab+ac +bc)(a^2+ab+ac) +b^2c^2\\= (a^2+ab+ac)^2 +bc.(a^2+ab+ac) +b^2c^2\)
Ta quy về bài toán chứng mình A^2+AB+B^2 >= 0 .....
•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ★T&T★︵✿²ƙ⁷‿✿ CTV 12 tháng 10 lúc 17:09\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a/b = x/y
Nguyễn Linh Chi Quản lý 1 tháng 10 lúc 10:23Hướng dẫn:
Ta có: \(x\le1\Rightarrow1-x\ge0\); \(x+y-3\ge0\)
Đặt: a = 1 - x và b = x + y - 3 ; với a; b không âm
=> y = a + b +2; x = 1 - a
Thế vào ta có: P = \(3\left(1-a\right)^2+3\left(1-a\right)\left(a+b+2\right)+\left(a+b+2\right)^2\)
Tìm min P với a; b không âm.
Đặng Ngọc Quỳnh 30 tháng 9 lúc 18:25Đặt \(x=a^3,y=b^3,z=c^3\Rightarrow\)a,b,c dương và abc=1
\(x+y+1=a^3+b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)+1\ge\left(a+b\right)ab+abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}=\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{abc+ab\left(a+b\right)}=\frac{abc}{abc+ab\left(a+b\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{y+z+1}\le\frac{a}{a+b+c};\frac{1}{x+z+1}\le\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{c}{a+b+c}\frac{a}{a+b+c}\frac{b}{a+b+c}=1\)(đpcm)
Đặng Ngọc Quỳnh 29 tháng 9 lúc 22:30BĐT đúng với n=2
giả sử BĐT đúng với n=k , tức là: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\)
Ta phải chứng minh BĐT đúng vớới n=k+1:
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Ta thấy: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)
Mà: \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)(*)
Thậy vậy: (*)\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\frac{k}{\sqrt{2}}+1\right)< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\Leftrightarrow\frac{k}{\sqrt{2}}+1< \sqrt{k+1}\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{k+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}< \sqrt{k+1}\frac{\sqrt{k+2}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow k^2+2\sqrt{2k}+2< k^2+3k+2\)(luôn đúng)
Suy ra: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}< \left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
hay \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...\sqrt{n}< n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
\(Chứng\)\(minh:\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{2n-1}{2n}< \frac{2}{\sqrt{2n+1}}\)
Đọc tiếp...Được cập nhật 29 tháng 9 lúc 21:06
Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
Đặng Ngọc Quỳnh 23 tháng 9 lúc 23:06Khi n=1, ta được \(\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2.1+1}}\Leftrightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\) : đúng
giả sử mệnh đề đúng khi n=k\(\left(k\ge1\right)\), tức là \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng khi n=k+1, tức là ta phải chứng minh BĐT sau:
\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2k-1}{2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2\cdot\left(k-1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2\left(k+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(2k+1\right)}.\frac{\left(2k+1\right)^2}{4\left(k+1\right)^2}< \frac{1}{\left(2k+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2\left(2k+3\right)< 4\left(k+1\right)^2\left(2k+1\right)\Leftrightarrow0< 2k+1\): luôn đúng
=>mệnh đề đúng với n=k+1
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với mọi n nguyên dương.
•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ★T&T★ CTV 20 tháng 9 lúc 6:37\(a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\Leftrightarrow a+b+a^2b+ab^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+ab^2-2ab\right)+\left(b+a^2b-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow a\left(b^2-2b+1\right)+b\left(a^2-2a+1\right)\ge0\Leftrightarrow a\left(b-1\right)^2+b\left(a-1\right)^2\ge0\)(Đúng do a, b > 0 và \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b > 0
Tam Bảo Đệ Nhất Phước 19 tháng 9 lúc 23:16Bạn cho VP=3/2 có phải tốt không, chứ cái đề nó lộ liễu quá.
\(\frac{a^3}{b\left(c+a\right)}+\frac{2b}{4}+\frac{c+a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b\left(c+a\right)}.\frac{2b}{4}.\frac{c+a}{4}}=\frac{3a}{2}\)
\(\frac{b^3}{c\left(a+b\right)}+\frac{2c}{4}+\frac{a+b}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{c\left(a+b\right)}.\frac{2c}{4}.\frac{a+b}{4}}=\frac{3b}{2}\)
\(\frac{c^3}{a\left(b+c\right)}+\frac{2a}{4}+\frac{b+c}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{a\left(b+c\right)}.\frac{2a}{4}.\frac{b+c}{4}}=\frac{3c}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\)\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Việt Hoàng . No . Pro 9 tháng 9 lúc 21:16a ) Đề không rõ , bạn xem lại nha
b)
Giả sử \(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b+m\right)}{b\left(b+m\right)}>\frac{b\left(a+m\right)}{b\left(b+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab+am>ab+bm\)
\(\Leftrightarrow am>bm\Leftrightarrow a>b\)
Vậy.............
FL.HủMắm 9 tháng 9 lúc 21:32a. \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\Leftrightarrow a\left(b+m\right)< b\left(a+m\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+am< ba+bm\)
\(\Leftrightarrow am< bm\Leftrightarrow a< b\)
βєsէ Ňαkɾσtɦ 9 tháng 9 lúc 21:21a, a\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+m}{b+m}\)
🍀Trần Nhật Quỳnh🍀 CTV 6 tháng 9 lúc 19:431) -3x( x + 2 )2 + ( x + 3 )( x - 1 )( x + 1 ) - ( 2x - 3 )2
= -3x( x2 + 4x + 4 ) + ( x + 3 )( x2 - 1 ) - ( 4x2 - 12x + 9 )
= -3x3 - 12x2 - 12x + x3 + 3x2 - x -3 - 4x2 + 12x - 9
= ( -3x3 + x3 ) + ( -12x2 + 3x2 - 4x2 ) + ( -12x - x + 12x ) + ( -3 - 9 )
= -2x3 - 13x2 - x - 12
2) ( x - 3 )( x + 3 )( x + 2 ) - ( x - 1 )( x2 - 3 ) - 5x( x + 4 )2 - ( x - 5 )2
= ( x2 - 9 )( x + 2 ) - ( x3 - x2 - 3x + 3 ) - 5x( x2 + 8x + 16 ) - ( x2 - 10x + 25 )
= x3 + 2x2 - 9x - 18 - x3 + x2 + 3x - 3 - 5x3 - 40x2 - 80x - x2 + 10x - 25
= ( x3 - x3 - 5x3 ) + ( 2x2 + x2 - 40x2 - x2 ) + ( -9x + 3x - 80x + 10x ) + ( -18 - 3 - 25 )
= -5x3 - 38x2 - 76x - 46
3) 2x( x - 4 )2 - ( x + 5 )( x - 2 )( x + 2 ) + 2( x + 5 )2 + ( x - 5 )2
= 2x( x2 - 8x + 16 ) - ( x + 5 )( x2 - 4 ) + 2( x2 + 10x + 25 ) + x2 - 10x + 25
= 2x3 - 16x2 + 32x - ( x3 + 5x2 - 4x - 20 ) + 2x2 + 20x + 50 + x2 - 10x + 25
= 2x3 - 16x2 + 32x - x3 - 5x2 + 4x + 20 + 2x2 + 20x + 50 + x2 - 10x + 25
= ( 2x3 - x3 ) + ( -16x2 - 5x2 + 2x2 + x2 ) + ( 32x + 4x + 20x - 10x ) + ( 20 + 50 + 25 )
= x3 - 18x2 + 46x + 95
FL.Tokotoko 4 tháng 9 lúc 16:52Vì \(a^2+b^2\ge2ab,b^2+1\ge2b\),ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+1}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)và \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)
Khi đó\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu"="trg BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Vậy \(Max_P=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
FL. Việt Hoàng 4 tháng 9 lúc 16:56Chắc không được GP đâu !!
Áp dụng bđt cauchy , ta có :
+) \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2\)
+) \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\)
+) \(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)
Khi đó , ta có :
\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+1}+\frac{abc}{ac+a+1}\right)\)( vì abc= 1 )
\(=\frac{1}{2}=VP\)( đoạn này ban tự phân tích ra nha , mk lmaf hơi tắt )
Vậy .................
ChipchiP 4 tháng 9 lúc 16:57Các bn vô link này giúp nốt mk nhé, btvn ý mà:)) https://olm.vn/hoi-dap/detail/261956633251.html?auto=1
FL. Việt Hoàng 4 tháng 9 lúc 16:57@blakcmagic . Dùng hpt hơi dài nên mình dùng cách đó nhanh hơn ^_^
Quỳnh Baka CTV 4 tháng 9 lúc 16:55@iloveyouthcsnhandao : lớp 9 thì nên ưu tiên hệ phương trình ạ xD
Gọi chiều dài khu vườn là x
chiều rộng khu vườn là y ( x,y thuộc N* ; x, y < 112 )
Theo đề bài ta có : 2( x + y ) = 112 (m)
<=> x + y = 56 (m) (1)
Tăng chiều rộng lên 4 lần, chiều dài lên 3 lần
=> Chiều dài mới = 3x ; chiều rộng mới = 4y
Khi đó 2( 3x + 4y ) = 382
<=> 3x + 4y = 191 (m) (2)
Từ (1) và (2) => Ta có hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}x+y=56\\3x+4y=191\end{cases}}\)
Nhân 3 vào từng vế của (1)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+3y=168\left(3\right)\\3x+4y=191\end{cases}}\)
Lấy (3) trừ (2) theo vế
=> -y = -23 <=> y = 23 (tmđk)
Thế y = 23 vào (1)
=> x + 23 = 56 => x = 33 (tmđk)
Vậy chiều dài khu vườn là 33m
chiều rộng khu vườn là 23m
FL. Việt Hoàng 4 tháng 9 lúc 16:48Nửa chu vi khu vườn là :
112 : 2 = 56 ( m )
Gọi chiều dài khu vườn là a ( m ) ( 0 < a < 56 )
=> chiều rộng khu vườn là : 56 - a ( m )
Chiều dài và chiều rông sau khi tăng và giảm lầm lượt là :
\(\hept{\begin{cases}3a\\4\left(56-a\right)\end{cases}}\)
Theo bài ra , ta có phương trình :
\(2\left[3a+4\left(56-a\right)\right]=382\)
\(\Leftrightarrow3a+224-4a=191\)
\(\Leftrightarrow-a=-33\)
\(\Leftrightarrow a=33\left(TM\right)\)
=> Chiều rộng mảnh vườn là : 56 - 33 = 23 ( m )
Vậy ..............
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\). Chứng minh rằng:\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{8}{9}\)
Đọc tiếp...Được cập nhật 14 tháng 10 lúc 12:14
Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ★T&T★ CTV 28 tháng 8 lúc 9:36Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
Nhà bạn Long có 4 người, bố, mẹ, Long và em Long. Thu nhập bình quân hàng thàng của gia đình là 3 500 000 đồng mỗi người. Vừa rồi nhà Long mới có bà nội lên ở cùng và lương hưu của bà là 5 triệu đồng một tháng, còn thu nhập của gia đình vẫn không thay đổi. Hỏi thu nhập bình quân hàng tháng của mỗi người tăng hay giảm bao nhiêu tiền?
Đọc tiếp...Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
Alice Bản Quyền 26 tháng 8 lúc 20:06Thu nhập tổng của gia đình khi có bà nội :
3 500 000 x 4 + 5 000 000 = 19 000 000 ( đồng )
Thu nhập bình quân của mỗi người lúc sau không tính bà nội :
19 000 000 / 5 = 3 800 000 ( đồng )
Vì 3 800 000 > 3 500 000
Nên thu nhập mỗi người trong gia đình tăng
Thu nhập mỗi người tăng :
3 800 000 - 3 500 000 = 300 000 ( đồng )
☯ ๖ۣۜN๖ۣۜH๖ۣۜT ☘ ۣۜPɾσ ☄ 26 tháng 8 lúc 20:06Bài giải
Trung bình hàng tháng của bà nội Long và gia đình là :
\(\left(3500000\times4+5000000\right)\div5=3800000\left(\text{đồng}\right).\)
Vậy thu nhập hàng tháng của gia đình tăng . Và tăng số tiền là :
\(3800000-3500000=300000\left(\text{đồng}\right).\)
Đáp số : 300000 đồng.
๖²⁴ʱ✰๖ۣۜBσσм ๖ۣۜBσσм✰ッ( ʚ๖ۣۜTεαм ๖ۣۜFℓαʂɦɞ ) 26 tháng 8 lúc 20:10TỔNG THU NHẬP BÌNH QUÂN CỦA NHÀ LONG KHI BÀ CHƯA LÊN
\(3500000.4=14000000\)
TỔNG THU NHẬP KHI BÀN LÊN Ở CÙNG
\(14000000+5000000=19000000\)
KHI ĐÓ THU NHẬP BÌNH QUÂN CỦA MỖI NGƯỜI
\(19000000:5=3800000\)
\(->3800000-1400000=2400000\)
ミ★DV_TT^^★彡 CTV 26 tháng 8 lúc 19:59Gọi F là trung điểm của EC
Trong \(\Delta\) CBE ta có:
M là trung điểm của cạnh CB
F là trung điểm của cạnh CE
Nên MF là đường trung bình của ∆ CBE
⇒ MF // BE (tính chất đường trung bình của tam giác)
Hay DE // MF
Trong tam giác AMF ta có:
D là trung điểm của AM
DE // MF
Suy ra: AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow AE=EF=FC\)
MÀ EF + FC = EC
\(\Rightarrow AE=2EC\)
#Chuyên mục bất đẳng thức khởi động bước vào năm học mới#
Bài toán 41: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn\(a+b-c\ge0;b+c-a\ge0;c+a-b\ge0\)và \(\left(a+b+c\right)^2=4\left(ab+bc+ca-1\right)\)
Tìm GTNN của biểu thức \(S=\sqrt{\frac{a+b}{c}-1}+\sqrt{\frac{b+c}{a}-1}+\sqrt{\frac{c+a}{b}-1}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}\)
Bài toán 46: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn\(\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{\frac{ab}{c}}\)
Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Đọc tiếp...Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
Đào Thị Hải Anh CTV 26 tháng 8 lúc 20:41Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
Đào Thị Hải Anh CTV 26 tháng 8 lúc 20:24Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
...
Dưới đây là những câu có bài toán hay do Online Math lựa chọn.
....
