Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Hỏi đáp Bất đẳng thức


tth_new tth_new 11 giờ trước (19:46)
Báo cáo sai phạm

Bài này đơn giản thôi. 

Đặt f(x) =  6x4 - 18x3 + 23x2 - 13x + 4 > 0

\(f\left(x\right)=\frac{47}{54}+\frac{1}{54}\left(18x^2-27x+13\right)^2+\frac{5}{6}x^2\)

Thao tác trên Maple (vào thống kê hỏi đáp xem ảnh)

Còn cách phân tích bằng tay thì qua VMF có bài viết của mình nói về điều này nhé.

Đọc tiếp...
Nguyễn Linh Chi Nguyễn Linh Chi Quản lý 22 giờ trước (8:51)
Báo cáo sai phạm

Đưa D về dạng: 

D = \(\frac{1}{\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2}+\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+4\left(a-1\right)\left(b-1\right)-4\)

\(\left(a-1\right)+\left(b-1\right)=a+b-2\le1\)

Đặt: a - 1 = x ; b - 1 = y => x + y \(\le\)1

=> \(D=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy-4\)

Tìm min D. Làm như này chắc nhanh hơn. Bạn thử xem nhé!

Đọc tiếp...
Nguyễn Linh Chi Nguyễn Linh Chi Quản lý 22 giờ trước (8:48)
Báo cáo sai phạm

\(D=\frac{1}{a^2+b^2-2a-2b+2}+\frac{1}{ab-a-b+1}+4\left(ab-a-b\right)\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2-2a-2b+2}+\frac{1}{2ab-2a-2b+2}+\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}+4\left(ab-a-b\right)\)

\(\ge\frac{4}{a^2+b^2-4a-4b+2ab+4}+\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}+8\left(ab-a-b+1\right)-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b-2\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}.8\left(ab-a-b+1\right)}-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

\(\ge4+4-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

= 4 ( a + b ) - 4ab 

\(\ge\)4 ( a + b ) - (a + b )2 - 4 + 4

=  - ( a + b - 2 )^2 + 4 

\(\ge\)3

Dấu "=" <=> a = b = 3/2

Đọc tiếp...
ĐănG ĐănG Hôm qua lúc 20:43
Báo cáo sai phạm

Mk làm lại nha, bài kia mk lm sai!

Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{36}{x+y+z}\ge\frac{36}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\Rightarrow\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Đọc tiếp...
ĐănG ĐănG Hôm qua lúc 20:32
Báo cáo sai phạm

Bài làm:

Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{6^2}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{13}\\y=\frac{4}{13}\\z=\frac{9}{13}\end{cases}}\)

Đọc tiếp...
Yuki Yuki Hôm qua lúc 20:36
Báo cáo sai phạm

Bài này là áp dụng bđt Cauchy-Schwaz nha bạn.

Đọc tiếp...
☆MĭηɦღAηɦ❄ ☆MĭηɦღAηɦ❄ Hôm qua lúc 20:52
Báo cáo sai phạm

\(B=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+\frac{3x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{8}{y}+\frac{3y}{2}\)

Áp dụng Cauchy ta được :

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6\)

\(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{8y}{2y}}=4\)

\(\Rightarrow B\ge6+4+\frac{3\left(x+y\right)}{2}\ge6+4+9=19\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\end{cases}\Leftrightarrow x=2;y=4}\)

Đọc tiếp...
dcv_new dcv_new CTV Hôm kia lúc 10:34
Báo cáo sai phạm

nếu thêm đk a,b thực dương thì có cách này ngắn hơn :

Theo bđt AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có 
\(LHS\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=RHS\left(Q.E.D\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Đọc tiếp...
Kyo-kun Kyo-kun Hôm kia lúc 10:23
Báo cáo sai phạm


Thêm điều kiện a , b > 0 

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

Vì  \(a,b>0\Rightarrow ab>0;a+b>0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

=> Đpcm

Đọc tiếp...
Dungg Dungg CTV Hôm kia lúc 10:27
Báo cáo sai phạm

Thêm đk a, b > 0 

Ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{a+b}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( đpcm ) 

Đọc tiếp...
Nguyễn Linh Chi Nguyễn Linh Chi Quản lý Hôm kia lúc 0:43
Báo cáo sai phạm

Đặt: 

x = a + c - b ; y = a + b - c ; z = b + c - a > 0 vì a; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 

=> x + y + z = a + b + c 

=> a = \(\frac{x+y}{2}\); b = \(\frac{y+z}{2}\); c = \(\frac{x+z}{2}\)

=> 3a - b + c = 2 a + ( a - b + c ) =  ( x  + y ) + x = 2x + y 

Tương tự: 3b - c + a = 2y + z ; 3c - a + b =  x + 2z

Đưa về bài toán: Chứng minh: 

\(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

<=> \(\frac{2x+2y}{2x+y}+\frac{2y+2z}{2y+z}+\frac{2z+2x}{2z+x}\ge4\)(1)

Ta có: VT = \(1+\frac{y}{2x+y}+1+\frac{z}{2y+z}+1+\frac{x}{2z+x}\)

\(=3+\left(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\right)\)

\(=3+\left(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\right)\)

\(\ge3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=3+1=4\)

=> (1) đúng 

=> Bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z <=>  a = b = c

Đọc tiếp...
zZz Cool Kid_new zZz zZz Cool Kid_new zZz CTV 31 tháng 7 lúc 23:10
Báo cáo sai phạm

Xài BĐT Bunhiacopski :

\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Sử dụng Bunhiacopski đỡ phải chứng minh lại Cauchy Schwarz

Đọc tiếp...
Haruko Ryo Haruko Ryo 1 tháng 8 lúc 11:23
Báo cáo sai phạm

Xin lổi các bạn, do hệ thống olm.vn bị lỗi nên không đưa đề lên được, mình đã đặt câu hỏi khác rồi!  Cảm ơn đóng góp ý kiến của các bạn! :)))

Đọc tiếp...
The Angry The Angry 1 tháng 8 lúc 10:25
Báo cáo sai phạm

Mình cũng xin góp ý kiến:

ĐỀ ĐÂU

Đọc tiếp...
Lãnh’z Hàn’z Thiên’z Kin’z Lãnh’z Hàn’z Thiên’z Kin’z 1 tháng 8 lúc 10:22
Báo cáo sai phạm

đề đâu bạn ? sao ko ghi đề mà đăng bài lên thế :))

Đọc tiếp...
❤b͙u͙n͙n͙y͙ ❤b͙u͙n͙n͙y͙ 29 tháng 7 lúc 20:47
Báo cáo sai phạm

Bài làm:

Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)

\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

Cộng vế 3 BĐT trên ta được:

\(VP\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

Đọc tiếp...
dcv_new dcv_new CTV 29 tháng 7 lúc 20:51
Báo cáo sai phạm

p/s : đéo biết làm thì câm mẹ mồm lại , loại súc vật như bạn ý thì cút khỏi olm cho sạch ạ !

Theo Cauchy ta dễ có : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Khi đó  : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2+2b+2ab}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Bằng cách chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bđt cùng chiều thì ta được : 

\(VT\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{abc.c+abc+ac}+\frac{a}{abc+ca+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Từ đó ta thu được \(VT\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đọc tiếp...
๖ۣۜƬεϻρεsτιssιϻo ๖ۣۜƬεϻρεsτιssιϻo 30 tháng 7 lúc 7:34
Báo cáo sai phạm

(xem trên thống kê hỏi đáp)

trên hình ảnh: cấm t.i.k sai những câu trl của tui :>>>

p/s: trên p/s m có bị ngu ko dcv_new?

Đọc tiếp...
Haruko Ryo Haruko Ryo 31 tháng 7 lúc 21:57
Báo cáo sai phạm

@Hải Ngọc  Cảm ơn câu trả lời của bạn, nhưng ở đoạn đầu bạn nhầm dấu cộng thành dấu trừ rồi! :)) 

Đọc tiếp...
Hải Ngọc Hải Ngọc CTV 31 tháng 7 lúc 20:38
Báo cáo sai phạm

\(\left|x\left(u+v\right)-y\left(u-v\right)\right|^2\le\left(x^2+y^2\right)\left[\left(u+v\right)^2+\left(u-v\right)^2\right]=1\cdot\left(2u^2+2v^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x\left(u+v\right)-y\left(u-v\right)\right|\le\sqrt{2}\)

Đọc tiếp...
Nguyễn Linh Chi Nguyễn Linh Chi Quản lý 28 tháng 7 lúc 23:08
Báo cáo sai phạm

\(a,b,c>0;ab+ac+bc=abc\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z>0\)=> x + y + z = 1

Ta có:\(P=\frac{1}{bc\left(1+\frac{1}{a}\right)}+\frac{1}{ac\left(1+\frac{1}{b}\right)}+\frac{1}{ab\left(1+\frac{1}{c}\right)}\)

Viết lại  \(P=\frac{yz}{1+x}+\frac{xz}{1+y}+\frac{xy}{1+z}\)

\(=\frac{yz}{\left(x+z\right)+\left(x+y\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(z+y\right)}+\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x+z}+\frac{yz}{x+y}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{yz+xy}{x+z}+\frac{yz+xz}{x+y}+\frac{xz+xy}{y+z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3 <=> a= b = c = 3

max P = 1/4 tại a = b = c = 3

Đọc tiếp...
☆MĭηɦღAηɦ❄ ☆MĭηɦღAηɦ❄ 28 tháng 7 lúc 20:54
Báo cáo sai phạm

Bài 1 : 

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a+a+c-b=2c=x+y\\b+c-a+a+b-c=2b=x+z\\a+c-b+a+b-c=2a=y+z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{y+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x,y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ ta được :

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{2}\left(\sqrt{x+y}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}};\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{z+x}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\ge2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+z}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{y+z}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{x+z}}{\sqrt{2}}}\)

Vậy BĐT được CM

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

Đọc tiếp...
Hải Ngọc Hải Ngọc CTV 28 tháng 7 lúc 20:38
Báo cáo sai phạm

bài 2 ta có đánh giá \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)

xây dựng các đánh giá tương tự có đpcm

Đọc tiếp...
Hoanqq cho*i ddo^` :> Hoanqq cho*i ddo^` :> 28 tháng 7 lúc 20:36
Báo cáo sai phạm

(: Em ý nói do máy lag nên bị viết lại 2 lần

Chứ có phải là do copy đou (:

Đọc tiếp...
zZz Cool Kid_new zZz zZz Cool Kid_new zZz CTV 27 tháng 7 lúc 19:51
Báo cáo sai phạm

Sử dụng Cauchy Schwarz và AM - GM ta dễ có:

\(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)

\(=\left[x+y+\frac{1}{4\left(x+y\right)}\right]+\frac{15}{4\left(x+y\right)}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}}+\frac{15}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{17}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=1/4

Đọc tiếp...
ミ★NVĐ^^★彡 ミ★NVĐ^^★彡 CTV 19 tháng 7 lúc 19:54
Báo cáo sai phạm

\(\frac{120+3}{a}\)GTNN

\(\Rightarrow A\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{120+3}{a}\le0\) dấu ''='' xảy ra khi

\(th1\orbr{\begin{cases}120+3\le0\\a\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow0\le a\le123\left(tm\right)\)

\(th2\orbr{\begin{cases}120+3\ge0\\a\le0\end{cases}}\Leftrightarrow123\le a\le0\left(loai\right)\)

vậy GTNN của A LÀ 1

Đọc tiếp...
dcv_new dcv_new CTV 19 tháng 7 lúc 21:13
Báo cáo sai phạm

đề sai , nếu đúng thì :

Nếu \(Min_A\)thì \(Max_a\)!

Đọc tiếp...

...

Dưới đây là những câu có bài toán hay do Online Math lựa chọn.

....

Toán lớp 10Đố vuiToán có lời vănToán lớp 11Toán đố nhiều ràng buộcToán lớp 12Giải bằng tính ngượcLập luậnLô-gicToán chứng minhChứng minh phản chứngQui nạpNguyên lý DirechletGiả thiết tạmĐo lườngThời gianToán chuyển độngTính tuổiGiải bằng vẽ sơ đồTổng - hiệuTổng - tỉHiệu - tỉTỉ lệ thuậnTỉ lệ nghịchSố tự nhiênSố La MãPhân sốLiên phân sốSố phần trămSố thập phânSố nguyênSố hữu tỉSố vô tỉSố thựcCấu tạo sốTính chất phép tínhTính nhanhTrung bình cộngTỉ lệ thứcChia hết và chia có dưDấu hiệu chia hếtLũy thừaSố chính phươngSố nguyên tốPhân tích thành thừa số nguyên tốƯớc chungBội chungGiá trị tuyệt đốiTập hợpTổ hợpBiểu đồ VenDãy sốHằng đẳng thứcPhân tích thành nhân tửGiai thừaCăn thứcBiểu thức liên hợpRút gọn biểu thứcSố họcXác suấtTìm xPhương trìnhPhương trình nghiệm nguyênPhương trình vô tỉCông thức nghiệm Vi-etLập phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thứcBất phương trìnhBất đẳng thức hình họcĐẳng thức hình họcHàm sốHệ trục tọa độĐồ thị hàm sốHàm bậc haiĐa thứcPhân thức đại sốĐạo hàm - vi phânLớn nhất - nhỏ nhấtHình họcĐường thẳngĐường thẳng song songĐường trung bìnhGócTia phân giácHình trònHình tam giácTam giác bằng nhauTam giác đồng dạngĐịnh lý Ta-letTứ giácTứ giác nội tiếpHình chữ nhậtHình thangHình bình hànhHình thoiHình hộp chữ nhậtHình ba chiềuChu viDiện tíchThể tíchQuĩ tíchLượng giácNgữ văn 10Hệ thức lượngViolympicNgữ văn 11Ngữ văn 12Giải toán bằng máy tính cầm tayToán tiếng AnhGiải tríTập đọcKể chuyệnTập làm vănChính tảLuyện từ và câuTiếng Anh lớp 10Tiếng Anh lớp 11Tiếng Anh lớp 12

Có thể bạn quan tâm


Tài trợ


sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: