Hỏi đáp Bất đẳng thức

10 032

~HT~

123x76=9384

Hok tốt!

xin câu hỏi

?????

Với \(xyz=\frac{1}{8}\)ta có bđt phụ sau :\(\left(xy+yz+zx\right)^2\ge\frac{3}{8}\left(x+y+z\right)\)(*)

Thật vậy bđt (*) tương đương với \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)(đúng theo AM-GM)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : \(-\frac{1}{x+y+z}\le-\frac{1}{\left(xy+yz+zx\right)^2.\frac{8}{3}}=-1:\frac{8\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=-\frac{3}{8\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Khi đó : \(VT\le-\frac{3}{8}.\frac{1}{\left(xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}\)

Đặt \(\frac{1}{xy+yz+zx}=hoanganh\)ta được : \(VT\le-\frac{3}{8}.\frac{1}{\left(xy+yz+zx\right)^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}=-\frac{3}{8}.hoanganh^2+hoanganh\)

easy rồi đấy =)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có : 

xy + yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{xy.yz.zx}=3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}\)

=> \(\frac{1}{xy+yz+zx}\le\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)(1)

Tương tự ta có \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=3.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

=> \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\)(2)

Lấy (1) trừ (2) theo vế  của bất đẳng thức ta được :

\(\frac{1}{xy+yz+zx}-\frac{1}{x+y+z}\le\frac{2}{3}\)

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:

\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)

Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)

Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8

\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)

\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).

ta có \(B=\sqrt[5]{x^{15}.\left(2-x^5\right)^5}=\sqrt[5]{x^5.x^5.x^5\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right)}\)

\(\Leftrightarrow B=\sqrt[5]{\left(\frac{3}{5}\right)^3.\frac{5}{3}x^5.\frac{5}{3}x^5.\frac{5}{3}x^5\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right).\left(2-x^5\right)}\)

\(\le\sqrt[5]{\left(\frac{3}{5}\right)^3.\left(\frac{5x^5+5\left(2-x^5\right)}{8}\right)^8}=\sqrt[5]{\left(\frac{3}{5}\right)^3.\left(\frac{5}{4}\right)^8}\)

Dâu bằng xảy ra khi \(\frac{5}{3}x^5=2-x^5\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{\frac{3}{4}}\)

んuﾘ ｲ                             Sửa A = 3 mà chứng minh được\(A\ge3\)

Ngẫm lại xem có xứng đáng làm CTV không

Dotnhuchomalamnhugioilam!!!

Sửa \(A=3\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\); \(x;y;z>0\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

\(VT=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

\(\)Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c

Trả lời: 

62572+728826=791.398

hello nha

2k? vậy ạ

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu:

\(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(=\frac{\left(-\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự CM được: \(4\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\) (1)

Lại có: \(VP\left(1\right)-\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)=...=0\) (biến đổi đồng nhất)

=> \(VT\left(1\right)\ge\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{4}{9}\)

\(n+2⋮n-1\Leftrightarrow n-1+3⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow3⋮n+1\Leftrightarrow n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

(n+2 ) \(⋮\)( n-1 )

Ta có n+2 = n-1+3 

mà (n-1)\(⋮\)(n-1 )  để (n+2 ) \(⋮\)( n-1 ) 

thì => 3 \(⋮\) ( n-1 )

hay n-1 thuộc ước của 3 

Ư(3)= { 1;3 }

Ta có bảng sau 

n-1    1          3

 n       2         4 

Vậy n \(\in\) {2;4}

 sotunhien

Có: \(x,y\ge1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\Leftrightarrow xy\ge x+y-1\)

Có: \(0\le a\le1\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le a\)

Khi đó: \(M=a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+x^2\)

\(\le a+b+c+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\le a+b+c+6\left(x+y+z\right)-2\left[2\left(x+y+z\right)-3\right]\)

\(=6-\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+6\)

\(=\left(x+y+z\right)+12\le6+12=18\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0; x=y=1; z=4

nice solution

a) Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y-z=a\\y+z-x=b\\z+x-y=c\end{cases}\Rightarrow}x=\frac{a+c}{2};y=\frac{b+a}{2};z=\frac{c+b}{2}\)

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{a+b}{2}.\frac{b+c}{2}.\frac{c+a}{2}\ge abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8}\ge abc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\ge0\\b+c\ge2\sqrt{bc}\ge0\\c+a\ge2\sqrt{ca}\ge0\end{cases}\Rightarrow}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)

Vật bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)

Sửa đề: \(\sqrt{2010}-2\sqrt{2012}+\sqrt{2014}< 0\)

Ta có: \(\left(\sqrt{2010}+\sqrt{2014}\right)^2\)

\(=2010+2\sqrt{2010\cdot2014}+2014\)

\(=4024+2\sqrt{\left(2012-2\right)\left(2012+2\right)}\)

\(=2\cdot2012+2\sqrt{2012^2-2^2}\)

\(< 2\cdot2012+2\cdot\sqrt{2012^2}=2\cdot2012+2\cdot2012\)

\(=4\cdot2012=\left(2\sqrt{2012}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2010}+\sqrt{2014}< 2\sqrt{2012}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2010}-2\sqrt{2012}+\sqrt{2014}< 0\)

Không đc sửa đề nhé ! Đây là bài chuẩn đấy .

Thế thì sorry nhé, bạn xem lại đề hộ đê

Ta có: \(\sqrt{2012}-2\sqrt{2012}+\sqrt{2014}\)

\(=\sqrt{2014}-\sqrt{2012}>0\)

Cái này hẳn là đề "chuẩn" đấy nhỉ

a) \(2x+3y=4\Rightarrow x=\frac{4-3y}{2}\)

Lúc đó thì\(2x^2+3y^2=2\left(\frac{4-3y}{2}\right)^2+3y^2=\frac{\left(4-3y\right)^2+6y^2}{2}=\frac{9y^2-24y+16+6y^2}{2}\)\(=\frac{15y^2-24y+16}{2}=\frac{15\left(y^2-\frac{24}{15}+\frac{16}{25}\right)+\frac{32}{5}}{2}=\frac{15\left(y-\frac{4}{5}\right)^2+\frac{32}{5}}{2}\ge\frac{\frac{32}{5}}{2}=\frac{16}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = ⁴/₅

b) \(3a-5b=8\Rightarrow a=\frac{5b+8}{3}\)

Lúc đó thì \(7a^2+11b^2=7\left(\frac{5b+8}{3}\right)^2+11b^2=\frac{7\left(5b+8\right)^2+99b^2}{9}\)\(=\frac{175b^2+560b+448+99b^2}{9}=\frac{274b^2+560b+448}{9}\)\(=\frac{274\left(b^2+\frac{280}{137}b+\left(\frac{140}{137}\right)^2\right)+\left(448-274.\left(\frac{140}{137}\right)^2\right)}{9}=\frac{274\left(b+\frac{140}{137}\right)^2+\frac{22176}{137}}{9}\ge\frac{2464}{137}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = ¹³²/₁₃₇; b = ^-140/₁₃₇

Từ: \(xy+yz+xz=xyz\) <=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(A=\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{2x+y+2z}\)Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (tự cm đúng)

Ta có: \(\frac{1}{x+2y+3z}=\frac{1}{x+z+2y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2z}\right)\) (1)

CMTT:  \(\frac{1}{2x+3y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{z}+\frac{3}{2y}\right)\) (2)

\(\frac{1}{3x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)(3)

Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế

\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{2z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{3}{2y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2z}\right)\)

\(A\le\frac{3}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y+2z\\z=2x+y\\y=x+2z\end{cases}}\) <=> x = y = z = 0

mà x;y;z > 0 => Dấu "=" ko xảy ra 

=> A < 3/16