Hỏi đáp Bất đẳng thức

Bài này đơn giản thôi. 

Đặt f(x) =  6x⁴ - 18x³ + 23x² - 13x + 4 > 0

\(f\left(x\right)=\frac{47}{54}+\frac{1}{54}\left(18x^2-27x+13\right)^2+\frac{5}{6}x^2\)

Thao tác trên Maple (vào thống kê hỏi đáp xem ảnh)

Còn cách phân tích bằng tay thì qua VMF có bài viết của mình nói về điều này nhé.

Đưa D về dạng: 

D = \(\frac{1}{\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2}+\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+4\left(a-1\right)\left(b-1\right)-4\)

\(\left(a-1\right)+\left(b-1\right)=a+b-2\le1\)

Đặt: a - 1 = x ; b - 1 = y => x + y \(\le\)1

=> \(D=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy-4\)

Tìm min D. Làm như này chắc nhanh hơn. Bạn thử xem nhé!

\(D=\frac{1}{a^2+b^2-2a-2b+2}+\frac{1}{ab-a-b+1}+4\left(ab-a-b\right)\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2-2a-2b+2}+\frac{1}{2ab-2a-2b+2}+\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}+4\left(ab-a-b\right)\)

\(\ge\frac{4}{a^2+b^2-4a-4b+2ab+4}+\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}+8\left(ab-a-b+1\right)-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b-2\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2\left(ab-a-b+1\right)}.8\left(ab-a-b+1\right)}-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

\(\ge4+4-4\left(ab-a-b+1\right)-4\)

= 4 ( a + b ) - 4ab 

\(\ge\)4 ( a + b ) - (a + b )² - 4 + 4

=  - ( a + b - 2 )^2 + 4 

\(\ge\)3

Dấu "=" <=> a = b = 3/2

Mk làm lại nha, bài kia mk lm sai!

Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{36}{x+y+z}\ge\frac{36}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\Rightarrow\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Bài làm:

Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{6^2}{1}=36\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{13}\\y=\frac{4}{13}\\z=\frac{9}{13}\end{cases}}\)

Bài này là áp dụng bđt Cauchy-Schwaz nha bạn.

\(B=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+\frac{3x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{8}{y}+\frac{3y}{2}\)

Áp dụng Cauchy ta được :

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6\)

\(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{8y}{2y}}=4\)

\(\Rightarrow B\ge6+4+\frac{3\left(x+y\right)}{2}\ge6+4+9=19\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\end{cases}\Leftrightarrow x=2;y=4}\)

nếu thêm đk a,b thực dương thì có cách này ngắn hơn :

Theo bđt AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có 
\(LHS\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=RHS\left(Q.E.D\right)\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Thêm điều kiện a , b > 0 

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

Vì  \(a,b>0\Rightarrow ab>0;a+b>0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

=> Đpcm

Thêm đk a, b > 0 

Ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{a+b}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a+b}\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)( đpcm ) 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Đặt: 

x = a + c - b ; y = a + b - c ; z = b + c - a > 0 vì a; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 

=> x + y + z = a + b + c 

=> a = \(\frac{x+y}{2}\); b = \(\frac{y+z}{2}\); c = \(\frac{x+z}{2}\)

=> 3a - b + c = 2 a + ( a - b + c ) =  ( x  + y ) + x = 2x + y 

Tương tự: 3b - c + a = 2y + z ; 3c - a + b =  x + 2z

Đưa về bài toán: Chứng minh: 

\(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

<=> \(\frac{2x+2y}{2x+y}+\frac{2y+2z}{2y+z}+\frac{2z+2x}{2z+x}\ge4\)(1)

Ta có: VT = \(1+\frac{y}{2x+y}+1+\frac{z}{2y+z}+1+\frac{x}{2z+x}\)

\(=3+\left(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\right)\)

\(=3+\left(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\right)\)

\(\ge3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=3+1=4\)

=> (1) đúng 

=> Bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z <=>  a = b = c

huyen

Xài BĐT Bunhiacopski :

\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

Sử dụng Bunhiacopski đỡ phải chứng minh lại Cauchy Schwarz

Xin lổi các bạn, do hệ thống olm.vn bị lỗi nên không đưa đề lên được, mình đã đặt câu hỏi khác rồi!  Cảm ơn đóng góp ý kiến của các bạn! :)))

Mình cũng xin góp ý kiến:

ĐỀ ĐÂU

đề đâu bạn ? sao ko ghi đề mà đăng bài lên thế :))

Bài làm:

Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)

\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

Cộng vế 3 BĐT trên ta được:

\(VP\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

p/s : đéo biết làm thì câm mẹ mồm lại , loại súc vật như bạn ý thì cút khỏi olm cho sạch ạ !

Theo Cauchy ta dễ có : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Khi đó  : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2+2b+2ab}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Bằng cách chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bđt cùng chiều thì ta được : 

\(VT\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{abc.c+abc+ac}+\frac{a}{abc+ca+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Từ đó ta thu được \(VT\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

(xem trên thống kê hỏi đáp)

trên hình ảnh: cấm t.i.k sai những câu trl của tui :>>>

p/s: trên p/s m có bị ngu ko dcv_new?

@Hải Ngọc  Cảm ơn câu trả lời của bạn, nhưng ở đoạn đầu bạn nhầm dấu cộng thành dấu trừ rồi! :)) 

\(\left|x\left(u+v\right)-y\left(u-v\right)\right|^2\le\left(x^2+y^2\right)\left[\left(u+v\right)^2+\left(u-v\right)^2\right]=1\cdot\left(2u^2+2v^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left|x\left(u+v\right)-y\left(u-v\right)\right|\le\sqrt{2}\)

nvfbccxvxhgđggcftg;k/mk[',ươp'.kl,oklk=jtyh-

\(a,b,c>0;ab+ac+bc=abc\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z>0\)=> x + y + z = 1

Ta có:\(P=\frac{1}{bc\left(1+\frac{1}{a}\right)}+\frac{1}{ac\left(1+\frac{1}{b}\right)}+\frac{1}{ab\left(1+\frac{1}{c}\right)}\)

Viết lại  \(P=\frac{yz}{1+x}+\frac{xz}{1+y}+\frac{xy}{1+z}\)

\(=\frac{yz}{\left(x+z\right)+\left(x+y\right)}+\frac{xz}{\left(x+y\right)+\left(z+y\right)}+\frac{xy}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x+z}+\frac{yz}{x+y}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xz}{x+y}+\frac{xz}{y+z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{yz+xy}{x+z}+\frac{yz+xz}{x+y}+\frac{xz+xy}{y+z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3 <=> a= b = c = 3

max P = 1/4 tại a = b = c = 3

Bài 1 : 

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a+a+c-b=2c=x+y\\b+c-a+a+b-c=2b=x+z\\a+c-b+a+b-c=2a=y+z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{y+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+z}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x,y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ ta được :

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{2}\left(\sqrt{x+y}\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}};\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{z+x}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\ge2\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y+z}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+z}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{1}{\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{y+z}}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{x+z}}{\sqrt{2}}}\)

Vậy BĐT được CM

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)

bài 2 ta có đánh giá \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)

xây dựng các đánh giá tương tự có đpcm

(: Em ý nói do máy lag nên bị viết lại 2 lần

Chứ có phải là do copy đou (:

Sử dụng Cauchy Schwarz và AM - GM ta dễ có:

\(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)

\(=\left[x+y+\frac{1}{4\left(x+y\right)}\right]+\frac{15}{4\left(x+y\right)}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}}+\frac{15}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{17}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y=¹/₄

\(\frac{120+3}{a}\)GTNN

\(\Rightarrow A\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{120+3}{a}\le0\) dấu ''='' xảy ra khi

\(th1\orbr{\begin{cases}120+3\le0\\a\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow0\le a\le123\left(tm\right)\)

\(th2\orbr{\begin{cases}120+3\ge0\\a\le0\end{cases}}\Leftrightarrow123\le a\le0\left(loai\right)\)

vậy GTNN của A LÀ 1

đề sai , nếu đúng thì :

Nếu \(Min_A\)thì \(Max_a\)!