Giúp tôi giải toán và làm văn

\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)

\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)

\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=¹/4

Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ

Câu hỏi của Ryan Park - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Chứng minh đc:

\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

\(\ge\frac{4}{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{x\sqrt{x}}=3\sqrt[3]{y^2z^2t^2}\le yz+zt+ty\)

\(\Sigma\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}\ge\Sigma\frac{1}{\frac{3x^3}{x\sqrt{x}}}=\Sigma\frac{\sqrt{x}}{3x^2}\ge\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{\sqrt{xyzt}}{\left(xyzt\right)^2}}=\frac{4}{3}\)

BĐT cần chứng minh tương đương với

\(\left(1-\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\right)+\left(1-\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}\right)+\left(1-\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\right)\le3\)

hay \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

Từ \(abc\ge1\) ta có:

\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{1}{\frac{a^5}{abc}+b^2+c^2}=\frac{1}{\frac{a^4}{bc}+b^2+c^2}\)

\(\le\frac{1}{\frac{2a^4}{b^2+c^2}+b^2+c^2}=\frac{b^2+c^2}{2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2}\)

Do \(4u^2+v^2\ge4uv\Leftrightarrow4u^2+v^2\ge\frac{2}{3}\left(u+v\right)^2\)nên 

\(2a^4+\left(b^2+c^2\right)^2\ge\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

Suy ra \(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\frac{3\left(b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{b^5+c^2+a^2}\le\frac{3\left(c^2+a^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

và \(\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

Cộng ba vế của các BĐT trên ta được

\(\frac{1}{a^5+b^2+c^2}+\frac{1}{b^5+c^2+a^2}+\frac{1}{c^5+a^2+b^2}\le\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

Vậy \(\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge0\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))

Ok, nó đây: https://olm.vn/hoi-dap/detail/229477332481.html

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{2y'z'}{x'^2};\frac{2z'x'}{y'^2};\frac{2x'y'}{z'^2}\right)\) với x', y', z' > 0. Quy về chứng minh:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x'^3}{\sqrt{x'^6+8y'^3z'^3}}\ge1\). Đặt \(\left(x'^3;y'^3;z'^3\right)=\left(x;y;z\right)\). Quy về:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\ge1\). Đến đây em thấy khá quen thuộc, hình như là bài IMO nào đó, để tối lục lại.

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)

hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Cậu ch0 mik xl nhen! Mik k0 bít làm! Xl rất nhìu

bạn có thể giải thích rõ hơn đc ko?

2) \(M\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\) :)) 

"=" \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{-1}{3}\)

3) \(VT\ge\frac{\left(a+2b\right)^2}{3\left(a+2b\right)}+\frac{\left(b+2a\right)^2}{3\left(b+2a\right)}=a+b=1\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:

1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a² + b² + c² ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x² + y² +z²
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR: 

\(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{3b+\left(a+2b\right)}{2}\); \(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{3a+\left(b+2a\right)}{2}\)

=> M\(\le a\frac{a+5b}{2}+b\frac{5a+b}{2}\)=\(\frac{a^2+b^2+10ab}{2}\)\(\le\frac{6\left(a^2+b^2\right)}{2}\)( áp dụng 2ab\(\le a^2+b^2\))=3(a²+b²)\(\le\)6

dấu = khi a =b =1

Xí, hôm qua buồn ngủ quá làm thiếu:V

\(VT\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{25}{2}\)(đpcm)

Để bài toán trông quen thuộc hơn:

Đặt a =x; \(\frac{1}{b}=y\) thì bài toán trở thành:

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y =1. CMR: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\).

-------------------------------------------------------------------------

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{25}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

P/s: Is it true?

2222222222222222222

2222222222222222222222222

nek bạn ơi

k cho mk nhé 

chuc bạn hoc tốt

https://i.imgur.com/OyN66WR.png

Cảm ơn bạn tth-new nhiều!

Sửa đề: a, b > 0 (hoặc a + b > 0, cái nào cũng được)

Chứng minh: \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\) (cái vế phải là mũ 3)

---------------------------------------------------------------------------------------

Giải:

Xét hiệu hai vế: \(VT-VP=4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì vậy \(VT\ge VP\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\). Ta có đpcm

Nếu mấy bạn thấy chỗ sai của cái đề thì sửa lại dùm mình với và làm bài giải của bạn nhé. Cho mình xin cảm ơn nhiều!

Vì a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có : \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}\) (BĐT tam giác)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\) (1)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}>\frac{2b}{a+b+c}\) (2)

\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\) (3)

Cộng các vế tương ứng của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (ĐPCM)

ADTCDTSBN:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

vi  \(\frac{1}{2}\)<2=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)

bất đẳng thức với a,b,c >o 

cần cm đó bn ơi

cái gì vậy???