Question

[Phuong Dang]

cho tam giác abc co 3 goc nhon .Đương (O) đương kinh BC căt AB,AC tai E va D,BD căt CE tai H,AH cát BC tai I

a,c/m tư giac ADHE,ADIB nôi tiêp

b c/m AD.AC=AH.AI=AE.AB

c,Ve 2 tiêp tuyên AMva AN cua (O) .c/m M,H,N thang hang

giúp min câu B,C vs a

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Do \(\widehat{BEC};\widehat{BDC}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\)

Hai tam giác vuông AEH và ADH có chung cạnh huyền AH nên A, E, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác ABC có BD, CE là các đường cao nên H là trực tam. Vậy thì \(AI\perp BC\)

Hai tam giác vuông ABD và AIB có chung cạnh huyền AB nên A, D, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Vậy ADIB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\Delta AHD\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AD}{AI}\Rightarrow AH.AI=AD.AC\)

\(\Delta AHE\sim\Delta ABI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AI}\Rightarrow AH.AI=AB.AE\)

Vậy nên \(AB.AE=AH.AI=AD.AC\)

c) Tứ giác AION nội tiếp nên \(\widehat{AIN}=\widehat{AON}=\widehat{ANM}\)

Ta cùng có \(\Delta ADN\sim\Delta ANC\Rightarrow\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow AN^2=AD.AC\)

Mà AD.AD = AH.AI nên AH.AI = AN²

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AIN}=\widehat{ANM}\)

Vậy nên M, K , N thẳng hàng.