Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên \(a+b-c>0;b+c-a>0;c+a-b>0\)
Đặt \(x=b+c-a>0\)
\(y=a+c-b>0\)
\(z=a+b-c>0\)
\(\Rightarrow a=\frac{"y+z"}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{"x+z"}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{"x+y"}{2}\)
\(A=\frac{a}{"b+c-a"}+\frac{b}{"a+c-b"}+\frac{c}{"a+b-c"}\)
\(=\frac{"y+z"}{"2x"}+\frac{"x+z"}{"2y"}+\frac{"x+y"}{"2z"}\)
\(=\frac{1}{2}."\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\)
Áp dụng công thức bdt Cauchy cho 2 số :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng 3 bdt trên, suy ra :
\("\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}"\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.6=3\) "dpcm"
P/s: Nhớ thay thế dấu ngoặc kép thành dấu ngoặc đơn nhé
\(\frac{2\left(Σab\right)}{Σa^2}\le\frac{2\left(Σa^2\right)}{a^2}=2\)
tuc la can cm \(Σ\frac{a}{b+c}\le\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\)
Nguoc dau voi BDT Nesbitt
vay BDT sai ko xay ra dau = maybe :3
Bất đẳng thức này mà ko loạn dấu thì tự làm đc r. Nhưng vế trước>=3/2, vế sau<=2 quá loạn dấu
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\)
\(=\frac{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{ab}\)
\(>\frac{b^2+\left(c-a\right).b}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right).c}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right).a}{ab}\)(BĐT tam giác)
\(=\frac{b+c-a}{c}+\frac{c+a-b}{a}+\frac{a+b-c}{b}\)
rồi sao đứng bánh r
Giải bằng lập luận tương đương nhá
Ta có: \(A=\frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-2ca-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{ac}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{ac}+\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{ab}>0\)
cmđ cái phân số đầu >0
2p/s sau quy đồng, lấy nhân tử chung là b+c-a là ra
Áp dụng BĐT côsi ta có:
a² + bc ≥ 2.a√(bc)
<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1)
tương tự vậy:
1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2)
1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3)
lấy (1) + (2) + (3)
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab))
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!)
Ta chứng minh bổ đề:
√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c
thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được:
a + b ≥ 2√(ab) --- (*)
a + c ≥ 2√(ac) --- (**)
b + c ≥ 2√(bc) --- (***)
lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ]
<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@)
từ (!) và (@)
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )
Áp dụng AM - GM:
\(\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}};\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ca}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
Khi đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
ta có \(P=a^3+b^3+c^3+3abc=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+3abc\)
\(=1-3\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-a\right)+3abc\)
nhân tung ra và rút gọn thì \(P=1-3\left(ab+bc+ca\right)+6abc=1-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)\)
vì \(b+c>a\Rightarrow a+b+c\ge2a\Rightarrow2a-1< 0\)
tương tự với mấy cái kia nhân vaò và ta có
\(\left(2a-1\right)\left(2b-1\right)\left(2c-1\right)< 0\)\(\Leftrightarrow8abc-4\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)-1< 0\)
=> \(1< 4\left(ab+bc+ca\right)-8abc\Rightarrow\frac{1}{4}< \left(ab+bc+ca-2abc\right)\)
=> \(\Rightarrow-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)< -\frac{3}{4}\)
=> \(1-3\left(ab+bc+ca-2abc\right)< \frac{1}{4}\) => p<1/4
B) ta có \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)=\sqrt{\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]}< abc\)
=> \(\left(1-2a\right)\left(1-2b\right)\left(1-2c\right)< abc\)
=> \(4\left(ab+bc+ca-2abc\right)\le abc+1\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1=\frac{28}{27}\)
=> \(ab+bc+ca-abc\le\frac{7}{27}\)
=> \(P\ge1-3.\frac{7}{27}=\frac{2}{9}\)
Ta có a+b+c=1;a;b;c>0 nên
P=a3+b3+c3+3abc
=(a+b+c)3-3(a+b)(b+c)(c+a)+3abc
=1-3abc-3∑ab(a+b)
=1-3abc-3∑ab(1-c)
=1-3(ab+bc+ca)+6abc
Vì a;b;c là 3 cạnh của một tam giác nên
b+c>a=>a+b+c>2a=>2a<1. Tương tự 2b<1;2c<1
Nên (2a-1)(2b-1)(2c-1)<0
<=> 8abc-4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)-1<0
=>4[ab+bc+ca-2abc]>1
=>P<1/4
Ta có:
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=
\(\sqrt{\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right].\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right].\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]}\)≤abc
=>(1-2a)(1-2b)(1-2c)≤abc
=>4[ab+bc+ca-2abc]≤abc+1≤\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3+1=\frac{28}{27}\)
=>P≥1-3.\(\frac{28}{4.27}=\frac{2}{9}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
trời mãi ms xong
Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)
Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\)
\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2bc-2ca
((a^2+b^2+c^2)-1)/2abc=(1-2ab-2bc-2ca-1)/abc=-(1/a+1/b+1/c)
T=4/a+b +4/b+c +4/c+a<=1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a-1/a-1/b-1/c=1/a+1/b+1/c<=9
Dấu = khi a=b=c=1/3