Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có :
\(S=x+\dfrac{\dfrac{16}{9}}{4x}+\dfrac{\dfrac{11}{9}}{4x}+y+\dfrac{\dfrac{16}{9}}{4y}+\dfrac{\dfrac{11}{9}}{4y}\)
\(S=\left(x+\dfrac{\dfrac{16}{9}}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{\dfrac{16}{9}}{4y}\right)+\dfrac{\dfrac{11}{9}}{4x}+\dfrac{\dfrac{11}{9}}{4y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{16}{36}}+2\sqrt{\dfrac{16}{36}}+\dfrac{11}{36}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{\dfrac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{8}{3}+\dfrac{11}{12}=\dfrac{43}{12}\)
Vậy Min S = \(\dfrac{43}{12}\) khi x = y = \(\dfrac{2}{3}\)
\(S=x+y+\dfrac{3}{4x}+\dfrac{3}{4y}\)
\(S=\dfrac{27}{16}x+\dfrac{3}{4x}+\dfrac{27}{16}y+\dfrac{3}{4y}-\dfrac{11}{16}\left(x+y\right)\)
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{27}{16}x.\dfrac{3}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{27}{16}y.\dfrac{3}{4y}}-\dfrac{11}{16}.\dfrac{4}{3}\)
\(S\ge2.\dfrac{9}{8}+2.\dfrac{9}{8}-\dfrac{11}{16}.\dfrac{4}{3}\)
\(S\ge\dfrac{43}{12}\)
GTNN của S là \(\dfrac{43}{12}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{2}{3}\)
\(S=x+y+\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\)
\(=x+y+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\ge x+y+\frac{3}{x+y}\)
\(=\left(x+y+\frac{16}{9\left(x+y\right)}\right)+\frac{11}{9\left(x+y\right)}\)
\(\ge\frac{4}{3}+\frac{11}{9\cdot\frac{4}{3}}=\frac{43}{12}\)
Tại \(x=y=\frac{2}{3}\)
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
Chứng minh bổ đề : \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}}=3x\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có :
\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Chúc bạn học tốt !!!
Chứng minh bổ đề: \(\frac{4x}{3-4x^2}\ge4x^2\)
\(\Leftrightarrow1+4x^3\ge3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3x\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4x^3\ge3\sqrt[3]{\frac{4x^3}{4}=3x\left(đpcm\right)}\)
Áp dụng bổ đề cho các phân thức còn lại và thu lại ta có
\(P\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+xz\right)=3\)
Vậy \(Pmin=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi x=y=z=1
Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Áp dụng bđt 1/a + a/b >= 4/a+b với a,b > 0 và bđt côsi thì :
S >= x+y+3 . 4/4x+4y = x+y + 3/x+y = [x+y + 16/9(x+y)] + 11/9(x+y)
>= \(2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{16}{9\left(x+y\right)}}\)+ 11/(9.4/3) = 8/3 + 11/12 = 43/12
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2/3
Vậy Min S = 43/12 <=> x=y=2/3
k mk nha