Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải thích các bước giải:
Trường hợp 1:p=21:p=2
→2p+1=2⋅2+1=5→2p+1=2⋅2+1=5 là số nguyên tố
2p+5=2⋅2+5=92p+5=2⋅2+5=9 không là số nguyên tố
→p=2→p=2 (loại)
Trường hợp 2:p=32:p=3
→2p+1=2⋅3+1=7→2p+1=2⋅3+1=7 là số nguyên tố
2p+5=2⋅3+5=112p+5=2⋅3+5=11 là số nguyên tố
→p=3→p=3 (chọn)
Trường hợp 3:p>33:p>3
→p→p chia 33 dư 11 hoặc 22
Nếu pp chia 33 dư 1→p=3k+1,k∈N∗1→p=3k+1,k∈N∗
→2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)⋮3→2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)⋮3
Mà 2p+1>3→2p+12p+1>3→2p+1 là hợp số
→p=3k+1→p=3k+1 (loại)
Nếu pp chia 33 dư 2→p=3k+2,k∈N∗2→p=3k+2,k∈N∗
→2p+5=2(3k+2)+5=6k+9=3(2k+3)⋮3→2p+5=2(3k+2)+5=6k+9=3(2k+3)⋮3
Mà 2p+5>3→2p+52p+5>3→2p+5 là hợp số
→p=3k+2→p=3k+2 (loại)
⇒p>3⇒p>3 loại
Với : không là số nguyên tố.
Với : đều là số nguyên tố, thỏa mãn.
Với : khi đó hoặc với .
- : mà nên không là số nguyên tố.
- : mà nên không là số nguên tố.
Vậy .
Với \(p=2\): \(5p+2=12\)không là số nguyên tố.
Với \(p=3\): \(2p+1=7,5p+2=17\)đều là số nguyên tố, thỏa mãn.
Với \(p>3\): khi đó \(p=3k+1\)hoặc \(p=3k+2\)với \(k\inℕ^∗\).
- \(p=3k+1\): \(2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3⋮3\)mà \(2p+1>3\)nên không là số nguyên tố.
- \(p=3k+2\): \(5p+2=5\left(3k+2\right)+2=15k+12⋮3\)mà \(5p+2>3\)nên không là số nguên tố.
Vậy \(p=3\).
Olm.vn sẽ hướng dẫn em giải bằng phương pháp đánh giá em nhé!
Nếu p = 2 \(\Rightarrow\) 2p2 + 1 = 2.22 + 1 = 9 (nhận)
Nếu p = 3 ⇒ 2p2 + 1 = 2.32 + 1 = 19 (loại)
Nếu p > 3 ⇒ p không chia hết cho 3 ⇒ p2 chia 3 dư 1
⇒ 2p2 : 3 dư 2 ⇒ 2p2 + 1 ⋮ 3 (nhận)
Từ những lập luận trên ta có
\(\forall\) p \(\ne\) 3; p \(\in\) P thì 2p2 + 1 là hợp số
b, p + 4 và p + 8 đều là số nguyên tố.
Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 loại
Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7; p + 8 = 3 + 8 = 11 (nhận)
Nếu p > 3 ta có: p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3k + 1
hoặc p = 3k + 2
th1 : p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 ⋮ 3 (loại)
th2: p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 ⋮ 3 (loại)
Từ những lập luận trên ta có p = 3 là giá trị thỏa mãn đề bài
+ nếu thì là hợp số (loại)
+ thì là số nguyên tố; là số nguyên tố; là số nguyên tố (tm)
+ với thì hoặc p=3k+2
Với thì: là hợp số (loại)
CM tương tự với .
Kết luận: thì cùng là số nguyên tố
p+2 ;p+8 ;4*p*p+1
+ nếu p=2p=2 thì p+2=4⋮2p+2=4⋮2 là hợp số (loại)
+ p=3p=3 thì p+2=5p+2=5 là số nguyên tố; p+8=11p+8=11 là số nguyên tố; 4p2+1=374p2+1=37 là số nguyên tố (tm)
+ với p>3p>3 thì p=3k+1p=3k+1 hoặc p=3k+2
Với p=3k+1p=3k+1 thì: p+8=3k+9⋮3p+8=3k+9⋮3 là hợp số (loại)
CM tương tự với p=3k+2p=3k+2.
Kết luận: p=3p=3 thì p,p+2;p+8;4p2+1p,p+2;p+8;4p2+1 cùng là số nguyên tố