Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(0\le x,y,z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\)
Tương tự:
\(yz+1\ge y+z;zx+1\ge z+x\)
Khi đó
\(LHS\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\)
Không chắc nha !
Lời giải:
Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$
$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$
Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$
$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$
Thật vậy:
$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:
$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)
$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$
BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị
Do \(0< x;y;z\le1\Rightarrow\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz-x-z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xz+1\ge x+z\Rightarrow1+y+xz\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\) (do \(x;y;z\le1\Rightarrow x+y+z\le3\))
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Hãy tích nếu như bạn thông minh
Ai ko tích là bình thường
Còn ai dis là "..."
Ta có : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy-\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+z+1\ge x+y+z\Rightarrow\frac{y}{xy+z+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{x}{xz+y+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{z}{yz+x+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng lại,ta được :
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)( 1 )
Mà \(x+y+z\le3\Rightarrow VP=\frac{3}{x+y+z}\ge1\)( 2 )
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra x = y = z = 1
Vậy ...
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\)
\(=\sqrt{\frac{xy}{z\left(x+y+z\right)+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y\left(x+y+z\right)+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x\left(x+y+z\right)+yz}}\)
\(=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ủng hộ và kb với mình ha ^^
x^2+1>=2x suy ra 1/x^2+1=y<=1/2x+y=1/x+x+y=1/9(9/x+x+y)<=1/x+1/x+1/y.
A(BT)<=1/9(3/x+3/y+3/z)=1/3(1/x+1/y+1/z)
Mà từ x+y+z=xy+yz+zx suy ra x+y+z=xy+yz+zx>=3
dễ dàng cm bằng phương pháp đánh giá suy ra 1/x+1/y+1/z<3
suy ra A<1/3.3=1(đpcm)
Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)