Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) Dễ thấy \(E\)là trực tâm của tam giác \(ACE\)(do là giao của hai đường cao \(DK,CH\)).
suy ra \(AE\perp CD\).
Để chứng minh \(BM//CD\)ta sẽ chứng minh \(AE\perp BM\).
Ta có:
\(\widehat{CAH}=\widehat{CBA}\)(vì cùng phụ với góc \(\widehat{ACB}\))
suy ra \(\widehat{CAE}=\widehat{ABM}\)
mà \(\widehat{CAE}+\widehat{EAB}=\widehat{CAB}=90^o\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{EAB}=90^o\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\)
do đó \(BM\perp AE\).
Từ đây ta có đpcm.
b ) Xét tam giác ABD và tam giác KBD , có
BD cạnh chung
góc ABD = góc KBD ( gt )
BA = BK ( tam giác ABK cân tại B )
suy ra tam giác ABD = tam giác KBD ( c.g.c)
suy ra góc BAD = góc BKD ( 2 góc tương ứng)
mà góc BAD = 90 độ
suy ra BKD = 90 độ
nên DK vuông góc BC
a) Tam giác ABK có BE vừa là đường cao vừa là phân giác nên tam giác ABK cân tại B
=> BE là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
hay A và K đối xứng nhau qua BD.
b) Xét tam giác ABD và KBD có
AB=KB(tam giác ABK cân tại B)
Góc ABD=KBD(gt)
BD cạnh chung .
Vậy tam giác ABD và KBD bằng nhau theo trường hợp (c.g.c).
=> Góc DKB=DAB=90 độ(hai góc tương ứng)
hay DK vuông góc với BC.
c)Ta có: góc: HAK+HKA=90 độ ( cùng phụ với góc H trong tam giác AHK).
và góc: KAC+BAK= góc A= 90 độ
mà góc BAK= HKA( tam giác ABK cân tại B).
từ 3 điều này suy ra góc HAK=KAC hay AK là tia phân giác góc HAC.
d) Tam giác ABK có AH, BE là các đường cao giao nhau tại I nên I là trực tâm.
=> KI cũng là đường cao
Hay KI vuông góc với AB.
mà AC vuông góc với AB( do tam giác ABC vuông tại A)
TỪ hai điều này suy ra IK//AC
Tứ giác IKCA có IK//AC nên IKCA là hình thang.
### a) Chứng minh \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \)
Xét tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \):
- \( AH \) là đường cao của tam giác \( \triangle ABC \), nên \( AH \) là phân giác của góc \( \angle BAC \).
- \( BD \) là trung tuyến của tam giác \( \triangle ABC \), nên \( BD \) chia \( AC \) thành hai phần bằng nhau, tức là \( AD = DC \).
Do đó, hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) đồng dạng (cân đối với nhau).
Với việc \( AK \) vuông góc \( BD \), ta có:
\[ DK = DB - BK \]
Và vì \( AD = DC \):
\[ DK = DB - BK = DB - \frac{BD}{2} = \frac{BD}{2} \]
Vậy ta có:
\[ DA \cdot DC = DA \cdot AD = AH^2 \]
Xét \( DK \cdot DB \):
\[ DK \cdot DB = \frac{BD}{2} \cdot BD = \frac{BD^2}{2} \]
Ta thấy \( AH^2 = \frac{BD^2}{4} \) (do \( AH \) là đường cao trong tam giác vuông \( \triangle ABC \)).
Do đó:
\[ DA \cdot DC = AH^2 = \frac{BD^2}{4} = \frac{DK \cdot DB}{4} \]
Vậy ta đã chứng minh được \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \).
### b) Chứng minh \( \angle BKH = \angle DCB \); \( \angle DCK = \angle DBC \)
Vì \( AK \) vuông góc \( BD \) và \( HI \) vuông góc \( AB \), nên \( \triangle AKH \sim \triangle BHI \).
Do đó,
\[ \angle BKH = \angle BHI = \angle DCB \]
và
\[ \angle DCK = \angle DHK = \angle DBC \]
### c) Chứng minh \( HK \cdot HA = HI \cdot AK \)
Do \( \triangle AKH \sim \triangle BHI \), ta có tỷ lệ:
\[ \frac{HK}{HI} = \frac{AK}{BH} \]
Vậy,
\[ HK \cdot HI = AK \cdot BH \]
Nhưng \( BH = \frac{AC}{2} \), nên
\[ AK \cdot BH = AK \cdot \frac{AC}{2} = AK \cdot HA \]
Vậy ta có \( HK \cdot HA = HI \cdot AK \).
### d) Chứng minh \( AE = ED \)
Giả sử \( DI \) cắt \( AK \) tại \( Q \). Ta cần chứng minh \( AE = ED \).
Xét hai tam giác \( \triangle DIQ \) và \( \triangle DCA \):
- \( \angle IDQ = \angle ADC \) (do \( DI \parallel AC \))
- \( \angle DIQ = \angle DAC \) (do \( DI \parallel AC \))
Vì hai góc tương đương, nên \( \triangle DIQ \sim \triangle DCA \).
Do đó,
\[ \frac{AE}{ED} = \frac{AQ}{QD} \]
Vậy ta cần chứng minh \( AQ = QD \). Từ tính chất của \( DI \) là đường chia tỷ lệ, ta có \( \frac{AQ}{QD} = \frac{AE}{ED} = 1 \).
Vậy \( AE = ED \).
Bằng cách này, ta đã chứng minh được \( AE = ED \).