Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TA có \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
=>\(\frac{2}{b}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)
=>\(\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)
=>\(a=b\)thay vào P:
\(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+d}{2c-b}\)
=>\(P=\frac{2a}{a}+\frac{2c}{c}\)
=>\(P=4\)
Ta có : \(\frac{a^3}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(1+b\right)}{8\left(1+b\right)}}=\frac{3}{2}a\)
\(\frac{b^3}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{1+a}.\frac{1+a}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}b\)
Cộng các vế tương ứng lại ta được :
\(\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}+\frac{1}{4}\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{1+b}+\frac{b^3}{1+a}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{ab}-\frac{3}{2}=1\)
Do đó \(P\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Ta có \(A=\left(a+b\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\right)\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge\left(a+b\right)^2\left(\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}\right)\)\(=4+\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge4+\frac{4ab}{2ab}=4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Vậy...........
Ta có: \(12=a+b+2ab\ge2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow0< ab\le4\)
Chú ý: \(2ab=12-a-b\) . Do đó:
\(A=\frac{2a^2+2ab}{2a+4b}+\frac{2b^2+2ab}{4a+2b}\)
\(=\frac{2\left(a^2+4\right)+4-a-b}{2a+4b}+\frac{2\left(b^2+4\right)+4-a-b}{4a+2b}\)
\(\ge\frac{7a-b+4}{2a+4b}+\frac{7b-a+4}{4a+2b}=\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\)
P/s: Em chưa check lại đâu, anh tự check đi:D Và chú ý cái dấu "=" cuối cùng của em chỉ đúng khi a + b +2ab = 12.
Cách khác:
Dễ thấy \(0< ab\le4\) (như bài trên)
\(A-\frac{8}{3}=\frac{2\left(a-2\right)^2}{2a+4b}+\frac{2\left(b-2\right)^2}{4a+2b}+\frac{7\left(a-b\right)^2+108\left(4-ab\right)}{6\left(2a+b\right)\left(a+2b\right)}\ge0\)
P/s: Nếu bài trên đúng thì bài này đúng, bài trên sai thì bài này sai, vì bài này được suy ra từ bài trên:v
Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của BĐT ta thu được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Với 2 số thực x, y bất kì, ta luôn có:
\(\left(x+y\right)^2=2\left(x^2+y^2\right)-\left(x-y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
Áp dụng: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}=\sqrt{2}\)
\(M=\frac{1-b}{\sqrt{b}}+\frac{1-a}{\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{2}\ge\frac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}.\)
Chứng minh bđt phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi \(a,b>0\))
Đặt \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+ab\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{9}{2ab}+ab\)
Áp dụng bđt (1) ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng bđt Cô-si với \(\frac{9}{2ab}+ab\)ta được: \(\frac{9}{2ab}+ab\ge2\sqrt{\frac{9}{2ab}.ab}=2.\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{4.\frac{9}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}+3\sqrt{2}\)
Vậy \(minA=3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)
\(Q=\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{\left(a^2-2ab+b^2\right)+2}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)^2+2}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a-b\right).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}\)