Câu hỏi của Khánh Nguyễn

Question

Biết x + y + z = 1xy + xz + yz = 1Tính M = x^2 + y^2 + z^2

GV · Accepted Answer

Vì $x+y+z=1$ nên ta có:$\left(x+y+z\right)^2=1^2$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2.1=1$  (vì $xy+xz+yz=1$)$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-1$Tuy nhiên nhìn vào đẳng thức trên ta thấy vô lý vì vế trái luôn lơn hơn hoặc bằng 0.Ta sẽ thấy ngay không thể có 3 số x, y, z thỏa mãn x + y + x = 1 và xy + xz + yz =1 được. Thật vậy:Nếu x + y + z = 1 thì:$1^2=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)$      $=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)$        $\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zx\right)=3\left(xy+yz+zx\right)$Suy ra $xy+yz+zx\le\frac{1}{3}$Tức là nếu $x+y+z=1$ thì $xy+yz+zx\le\frac{1}{3}$ và $xy+yz+zx$ không thể bằng 1.Câu trả lời: Vì $x+y+z=1$ nên ta có:$\left(x+y+z\right)^2=1^2$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1$$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2.1=1$  (vì $xy+xz+yz=1$)$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-1$Tuy nhiên nhìn vào đẳng thức trên ta thấy vô lý vì vế trái luôn lơn hơn hoặc bằng 0.Ta sẽ thấy ngay không thể có 3 số x, y, z thỏa mãn x + y + x = 1 và xy + xz + yz =1 được. Thật vậy:Nếu x + y + z = 1 thì:$1^2=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)$      $=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)$        $\ge xy+yz+zx+2\left(xy+yz+zx\right)=3\left(xy+yz+zx\right)$Suy ra $xy+yz+zx\le\frac{1}{3}$Tức là nếu $x+y+z=1$ thì $xy+yz+zx\le\frac{1}{3}$ và $xy+yz+zx$ không thể bằng 1.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP