Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Bai 1: Ap dung BDT Bunhiacopxki ta co:
\(ax+by+cz+2\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+xz)} \)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} + \sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}+\sqrt {(ab+ac+bc)(xy+yz+zx)}\)
\(≤ \sqrt {(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}\)
\(= (a+b+c)(x+y+z)\)
=> \(Q.E.D\)
Tiep bai 4:Ta co:
BDT <=> \((2+y^2z)(2+z^2x)(2+x^2y)≥(2+x)(2+y)(2+z)\)
Sau khi khai trien con: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)+x^2z+z^2y+y^2x≥xy+yz+zx+2x+2y+2z \)
Ap dung BDT Cosi ta co:
\(z^2x+x ≥ 2zx \) <=> \(z^2x≥2zx-x\)
Lam tuong tu ta co: \(2(z^2x+y^2z+x^2y)≥4xy+4yz+4zx-2x-2y-2z \)(1)
\(x^2z+{1\over z}≥2x \) <=> \(x^2z≥2x-xy \) (do xyz=1)
Lam tuong tu ta co: \(x^2z+z^2y+y^2x≥ 2y+2z+2x-xy-yz-zx\)(2)
Cong (1) voi (2) ta co: VT\(≥ 3(xy+yz+zx)\)(*)
Voi cach lam tuong tu ta cung duoc: VT\(≥ 3(x+y+z) \)(**)
Tu (*) va (**) suy ra : \(3 \)VT \(≥ 6(x+y+z)+3(xy+yz+zx) \)
<=> VT \(≥ 2(x+y+z)+xy+yz+zx\)
=> \(Q.E.D\)
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)
Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)
⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)
Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
a,b dể tự làm nha
c)ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2ab-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) mà a+b=1
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) mà \(ab\le\frac{1}{4}\)
tahy vào có \(a^2+b^2\ge2\times\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)
b mình tự làm, bạn làm phần a hộ mình với