Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có với mọi số nguyên m thì m2 chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.
+ Nếu n2 chia cho 5 dư 1 thì n 2 = 5 k + 1 = > n 2 + 4 = 5 k + 5 ⋮ 5 ; k ∈ N * .
Nên n2+4 không là số nguyên tố
+ Nếu n2 chia cho 5 dư 4 thì n 2 = 5 k + 4 = > n 2 + 16 = 5 k + 20 ⋮ 5 ; k ∈ N * .
Nên n2+16 không là số nguyên tố.
Vậy n2 ⋮ 5 hay n ⋮ 5
Ta có: p+(p+2)=2(p+1)
Vì p lẻ nên ( p + 1 ) ⋮ 2 = > 2 ( p + 1 ) ⋮ 4 (1)
Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên ( p + 1 ) ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra p + ( p + 2 ) ⋮ 12 (đpcm)
Lời giải:
Nếu $p$ không chia hết cho $3$ thì $p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$
$\Rightarrow 8p^2+1\equiv 8+1\equiv 0\pmod 3$
Mà $8p^2+1>3$ nên $8p^2+1$ không là snt (trái giả thiết)
Vậy $p=3$. Khi đó $8p^2-1=71$ là số nguyên tố (đpcm)
Một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 3 sẽ có 2 khả năng xảy ra
p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 ;
Với p = 3k + 1
=> (p + 1)(p - 1) = p2-1=(3k+1)2-1=9k2+6k=3k(3k+2)
Vì đây là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 , 3 => (p-1)(p+1) chia hết cho 6
C/m tương tự để chia hết cho 24
Với p = 3k + 2
tương tự
n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n có thể có các dạn sau:
+) n = 3k + 1 => n2 + 17 = (3k +1)2 + 17 = 9k2 + 6k + 1 + 17 = 9k2 + 6k + 18 chia hết cho 3 => n2 + 17 không là số nguyên tố
+) n = 3k + 2 => n2 + 17 = (3k +2)2 + 17 = 9k2 + 12k + 4 + 17 = 9k2 + 12k + 21 chia hết cho 3 => n2 + 17 không là số nguyên tố
=> đpcm