Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Thay x = 1 vào đa thức F(x), ta có:
F(1) = a.12 + b.1 + c = a+ b + c
Mà a + b + c = 0
Do đó, F(1) = 0. Như vậy x = 1 là một nghiệm của F(x)
b) Ta có: Đa thức 2x2 – 5x + 3 có a = 2 ; b = -5; c = 3 nên a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0
Do đó, đa thức có 1 nghiệm là x = 1
\(a+c=b\Rightarrow a-b+c=0\)
Ta thấy \(f\left(-1\right)=a-b+c=0\)Vậy x = -1 là 1 nghiệm của f(x)
Với \(a\ne0\)thì f(x) là 1 đa thức bậc hai và có nhiều nhất là 2 nghiệm, 1 nghiệm = 1 theo đề bài thì nghiệm còn lại như chứng minh trên là: -1.
Ta có :
f(1) = a . (-1)2 + b . ( -1 ) + c = a - b + c = 0
Vậy đa thức trên có nghiệm là -1
Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 ; x3
\( \implies\) P( x1 ) = 0 \(\iff\) ax12 + bx1 + c = 0 ( 1 )
P( x2 ) = 0 \(\iff\) ax22 + bx2 + c = 0 ( 2 )
P( x3 ) = 0 \(\iff\) ax32 + bx3 + c = 0 ( 3 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax22 + bx2 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax22 - bx2 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax22 ) + ( bx1 - bx2 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x22 ) + b( x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x2 )( x1 + x2 ) + b(x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x2 ) [ a( x1 + x2 ) + b ] = 0
Mà x1 - x2 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x2 ) + b = 0 ( 4 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 3 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax32 + bx3 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax32 - bx3 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax32 ) + ( bx1 - bx3 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x32 ) + b( x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x3 )( x1 + x3 ) + b(x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x3 ) [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
Mà x1 - x3 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x3 ) + b = 0 ( 5 )
+)Lấy ( 4 ) - ( 5 ) vế với vế ta được : [ a( x1 + x2 ) + b ] - [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) + b - a( x1 + x3 ) - b = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) - a( x1 + x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 - x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a ( x2 - x3 ) = 0
Mà x2 - x3 khác 0 \( \implies\) a = 0 ( vô lý )
Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt
