Giải toán trên mạng

Cho ba số dương  \(0\le a\le b\le c\le1\)

Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

o l m . v n

Được cập nhật 1 tháng 1 lúc 19:52

Câu hỏi tương tự Đọc thêm Báo cáo
alibaba nguyễn 22 tháng 1 2017 lúc 5:27
Báo cáo sai phạm

Đặt: \(P=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\)

Từ đề bài ta có: \(abc\ge0\)

Ta chứng minh: \(\frac{a}{1+bc}\le\frac{2a}{2+abc}\)

\(\Leftrightarrow2a+a^2bc\le2a+2abc\)

\(\Leftrightarrow abc\left(2-a\right)\ge0\)(đúng)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{1+ac}\le\frac{2b}{2+abc}\)

\(\frac{c}{1+ab}\le\frac{2c}{2+abc}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2+abc}\)

\(\Rightarrow P-2\le\frac{2\left(a+b+c-2-abc\right)}{2+abc}\)

\(=-\frac{2\left(\left(1-a\right)\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\left(1-ab\right)\right)}{2+abc}\)

 \(\le0\)(vì \(0\le a\le b\le c\le1\))

\(\Rightarrow P\le2\)

Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)

Thắng Nguyễn CTV 23 tháng 1 2017 lúc 12:59
Báo cáo sai phạm

Từ \(\hept{\begin{cases}a\le1\Rightarrow a-1\le0\\b\le1\Rightarrow b-1\le0\end{cases}}\) suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow2ab+1\ge a+b\left(ab\ge0\right)\)

\(\Rightarrow2ab+2\ge a+b+c\left(1\ge c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\).Cộng theo vế ta có:

\(VT\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

quá nhiều ý tưởng mà ko ai vào chém à

ngonhuminh 23 tháng 1 2017 lúc 17:01
Báo cáo sai phạm

Bài của @Ali nếu thiếu chỉ thiếu mõi cái Đẳng thức xẩy ra khi nào?

Nếu thực sự muốn biết chi cần nhắn tin nếu online khảng định sau 1 phút có đáp án.

Ngu Ngu Ngu 5 tháng 4 2017 lúc 18:32
Báo cáo sai phạm

Giải:

Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên \(ab,bc,ca\ge abc\)

Do đó: \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b+c}{abc+1}\)

Vậy ta cần chứng minh: \(\frac{a+b+c}{abc+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow2\left(abc+1\right)\ge a+b+c\)

Vì \(a,b,c\le1\) nên \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(bc-1\right)\ge0\\\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2abc+1\ge abc+1\ge bc+a\)

\(\Rightarrow bc+1\ge b+c\)

Do đó \(2abc+2\ge a+bc+1\ge a+b+c\)

Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(0,1,1\right)\)

ngonhuminh 25 tháng 1 2017 lúc 14:04
Báo cáo sai phạm

Theo cách làm@hoángphuc CTV mình thấy gọn nhưng chưa biết đẳng thức xẩy ra khi nào??

Hoàng Phúc CTV 24 tháng 1 2017 lúc 15:48
Báo cáo sai phạm

vậy t có cách này , mn  tham khảo:

Không mất tính TQ,giả sử 0<=a<=b<=c<=1 

Ta có ab+1<=ac+1,ab+1<=bc+1

=>a/bc+1 + b/ca+1 + c/ab+1 <= a/ab+1 + b/ab+1 + c/ab+1

=>a/bc+1 + b/ca+1 + c/ab+1 <= (a+b+c)/(ab+1) (1)

Từ gt ta co1 (1-a)(1-b) >= 0 =>a+b <= ab+1 <= 2ab+1 .mà c<=1 nên a+b+c <= 2ab+1+1=2(ab+1)

=>(a+b+c)/(ab+1) <= 2(ab+1)/ab+1 = 2 (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

ngonhuminh 23 tháng 1 2017 lúc 16:56
Báo cáo sai phạm

Một bài toán có (n+1)! cách giải hiện tại chưa có cánh nào hay hơn. tạm chập nhận cách đó hay nhất

còn bạn C/m sai e rằng bạn đang nhầm

ngonhuminh 23 tháng 1 2017 lúc 16:53
Báo cáo sai phạm

chuyen gi the chua hieu

alibaba nguyễn 23 tháng 1 2017 lúc 16:24
Báo cáo sai phạm

Thắng Nguyễn cẩn thận nhé. Cái bất đẳng thức đầu tiên xảy ra khi ab = 0, thứ 2 xảy ra khi bc = 0, thứ 3 xảy ra khi ca = 0

Hay cái bất đẳng thức của you xảy ra khi 

\(\hept{\begin{cases}ab=0\\bc=0\\ca=0\end{cases}}\)

Nói tới đây thì you thấy chỗ sai của mình rồi đúng không 

Phan Thanh Tuấn 23 tháng 1 2017 lúc 15:19
Báo cáo sai phạm

Chứng minh rằng bạn rất rất rất ........................rất ngu

nguyễn ánh hằng 19 tháng 1 lúc 20:52
Báo cáo sai phạm

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a-b-c}{bc+1-ac+1-ab+1}\)\(\frac{a-b-c}{bc-ac-ab}=\frac{a-b-c}{\left(b-a\right)\times c}\)

Ta có :\(\frac{a-b}{b-a}=\frac{c}{c}=1\)=>\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}>2\)

tth(Box Toán-Văn) CTV 4 tháng 1 lúc 19:09
Báo cáo sai phạm

Bạn tham khảo bài mình làm tại đây nhé: Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Kiến thức lớp 7 thôi,cần gì nhiều :v. Cảm ơn anh ali đã gợi ý!

Kirito 7 tháng 12 2018 lúc 18:15
Báo cáo sai phạm

like thì vào nhóm tui

tranhoangquan 28 tháng 11 2018 lúc 20:23
Báo cáo sai phạm

được lắm ok

Kirito 26 tháng 11 2018 lúc 19:10
Báo cáo sai phạm

quá ngu .tui cũng ko bít

nguyen ngoc bao an 11 tháng 2 2018 lúc 21:34
Báo cáo sai phạm

toán lớp mấy vậy

Có thể bạn quan tâm

Toán lớp 10Đố vuiToán có lời vănToán lớp 11Toán đố nhiều ràng buộcToán lớp 12Giải bằng tính ngượcLập luậnLô-gicToán chứng minhChứng minh phản chứngQui nạpNguyên lý DirechletGiả thiết tạmĐo lườngThời gianToán chuyển độngTính tuổiGiải bằng vẽ sơ đồTổng - hiệuTổng - tỉHiệu - tỉTỉ lệ thuậnTỉ lệ nghịchSố tự nhiênSố La MãPhân sốLiên phân sốSố phần trămSố thập phânSố nguyênSố hữu tỉSố vô tỉSố thựcCấu tạo sốTính chất phép tínhTính nhanhTrung bình cộngTỉ lệ thứcChia hết và chia có dưDấu hiệu chia hếtLũy thừaSố chính phươngSố nguyên tốPhân tích thành thừa số nguyên tốƯớc chungBội chungGiá trị tuyệt đốiTập hợpTổ hợpBiểu đồ VenDãy sốHằng đẳng thứcPhân tích thành nhân tửGiai thừaCăn thứcBiểu thức liên hợpRút gọn biểu thứcSố họcXác suấtTìm xPhương trìnhPhương trình nghiệm nguyênPhương trình vô tỉCông thức nghiệm Vi-etLập phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thứcBất phương trìnhBất đẳng thức hình họcĐẳng thức hình họcHàm sốHệ trục tọa độĐồ thị hàm sốHàm bậc haiĐa thứcPhân thức đại sốĐạo hàm - vi phânLớn nhất - nhỏ nhấtHình họcĐường thẳngĐường thẳng song songĐường trung bìnhGócTia phân giácHình trònHình tam giácTam giác bằng nhauTam giác đồng dạngĐịnh lý Ta-letTứ giácTứ giác nội tiếpHình chữ nhậtHình thangHình bình hànhHình thoiHình hộp chữ nhậtHình ba chiềuChu viDiện tíchThể tíchQuĩ tíchLượng giácNgữ văn 10Hệ thức lượngViolympicNgữ văn 11Ngữ văn 12Giải toán bằng máy tính cầm tayToán tiếng AnhGiải tríTập đọcKể chuyệnTập làm vănChính tảLuyện từ và câuTiếng Anh lớp 10Tiếng Anh lớp 11Tiếng Anh lớp 12

Có thể bạn quan tâm


Tài trợ

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web hoc24.vn để được giải đáp tốt hơn.


sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: