Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi số cần tìm là ABC ( A>0 , A,B,C<10 )
Theo đề bài , ta có : ABC=11.(A+B+C)
A.100+B.10+C.1=11.A+11.B+11.C
A.89=B+C.10
Ta thấy B+C.10\(\le\)99 => A.89 \(\le\)99
=> A=1 vì nếu A bằng 2 thì 2.89 = 178 vậy A chỉ bằng 1 . Khi A=1 ta có :
B+C.10=89
Ta thấy C chỉ bằng 8 nếu C bằng 7 thì B sẽ là số có 2 chữ số . Vậy C=8
Khi C=8 ta có :
B+8.10=89
B+80=89
B=9
=> Ta có số 198
Ta sẽ dùng phản chứng
Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))
Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)
Theo bất đẳng thức trong tứ giác thì dễ thấy \(x;y;z>1\)
Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)
Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z
Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)
tương tự : \(z\ge4\)
Từ điều giả sử\(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)
Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)
\(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)
Nên điều giả sử là sai
Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó
Bài 1
Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.
Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ
Xét các trường hợp:
· a, b, c cùng chẵn --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2
· a, b, c cùng lẻ --> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2
· a, b, c có 1 cặp là số lẻ --> Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2
· a, b, c có 1 cặp là số chẵn --> Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài
Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài
---> Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)
Bài 2
Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.
Giải : Áp dụng qui tắc số dư
Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0, 1, 2, 3, 4,
Xét các trường hợp:
· cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)
bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)
--> Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5
Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) --> 2 cặp có tổng chia hết cho 5
· cả 4 số có số dư trùng nhau --> 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0
--> chia hết cho 5
· 2 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 2 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5
· 1 cặp có số dư trùng nhau --> Hiệu của 1 cặp đó = 0 --> chia hết cho 5
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.
Bài 3
Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4
Giải:
Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)
A, B, C Và D, E, F mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2
* Giả thử (A+B) =2 m và (D+E)=2n --> (A+B) + (C+D)= 2(m+n)
Còn 3 số C F G sẽ có 1 cặp chia hết cho 2
( C + F) = 2 p Với m,n,p cúng là số tự nhiên
Trong 3 số m, n, p luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.
*Giả thử (m + n) =2 q ( q là số TN) thì ta có
(A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)
Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4
Chú ý:
- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chỉ nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”
- Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ "và" với chữ "hoặc" !
k mik nha
Ta có (a1 + a2 + ...+a2016)3 = 20166051
<=> a13 + a23 +...+ a20163 + 3A = 20166051
Vì 20166051 và 3A chia hết cho 3 nên a13 + a23 +...+ a20163 chia hết cho 3