Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
Để chứng minh n2+n+1 không thể là số chính phương ta sẽ chứng minh n2+n+1 không chia hết cho 9
Giả sử n2+n+1 chia hết cho 9
<=> n2+n+1=9k (k thuộc N)
<=> n2+n+1-9k=0 (1)
\(\Delta=1^2-4\left(1-9k\right)=36k-3=3\left(12k-1\right)\)
Ta thấy \(\Delta⋮3\)và không chia hế cho hết cho 9 nên không là số chính phương => pt (1) trên không thể nghiệm nguyên
Vậy n2+n+1 không chia hết cho 9 hay n2+n+1 không là số chính phương
bài này có thểgiải thế này nè.
xét n chẵn, ta có n^2 +1 là số lẻ --> k chia hết cho 8 với mọi n chẵn.
xét n lẻ, ta có n có thể đc viết dưới dạng, n=2k + 1 (k thuộc N)
các số chia hết cho 8 có dạng 8k',
ta xét 2 đồ thị y = (2x+1)^2 + 1 và y = 8x, xét pt hoành độ giao điểm (2x +1)^2 + 1 = 8x ta được pt vô nghiệm, từ đó suy ra không tìm được k để n^2 + 1 chia hết cho 8.
vậy thì n^+1 k chia hết cho 8 với n chẳn và lẻ, vậy nên cúi cùng nó k chia hết cho 8
\(\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì \(n\) lẻ \(\Rightarrow n+1\) và \(n-1\) chẵn
\(n+1-\left(n-1\right)=n+1-n+1=2\)
\(\Rightarrow n+1\) và \(n-1\) là hai số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-1=2k\\n+1=2\left(k+1\right)\end{matrix}\right.\left(k\in N\right)\)
\(k+1-k=1\)
\(\Rightarrow k\) và \(k+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên trong hai số \(k\) và \(k+1\) có một số chẵn
Nếu \(k\) là số chẵn:
\(\Rightarrow k=2a\left(a\in N\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}n-1=2k=2\cdot2a=4a\\n+1=2\left(k+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=4a\cdot2\left(k+1\right)=8a\left(k+1\right)⋮8\)
Nếu \(k\) là số lẻ:
\(\Rightarrow k+1\) là số chẵn
\(\Rightarrow k+1=2b\left(b\in N\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}n-1=2k\\n+1=2\left(k+1\right)=2\cdot2b=4b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=2k\cdot4b=8kb⋮8\)
Vậy \(\left(n^2-1\right)⋮8\left(đpcm\right)\)
Dễ thấy các số trên là bình phương các số tự nhiên liên tiếp.
Mà các số chính phương đều không tận cùng bằng 2, 3, 7 và 8
Nên chúng chỉ tận cùng bằng 0 ,1 , 4 , 5 , 6 và 9
Xét từng trường hợp nếu chọn các bộ số tận cùng của các số trên được {1,4,5,6} ; {1;4;5;9}; {1;4;6;9} ; {1;5;6;9} và các hoán vị của các bộ số này. Nhận thấy tổng của các phần tử trong mỗi bộ số đều không tận cùng bằng 7
Vậy có điều phải chứng minh
Dễ thấy các số trên là bình phương các số tự nhiên liên tiếp.
Mà các số chính phương đều không tận cùng bằng 2, 3, 7 và 8
Nên chúng chỉ tận cùng bằng 0 ,1 , 4 , 5 , 6 và 9
Xét từng trường hợp nếu chọn các bộ số tận cùng của các số trên được {1,4,5,6} ; {1;4;5;9}; {1;4;6;9} ; {1;5;6;9} và các hoán vị của các bộ số này. Nhận thấy tổng của các phần tử trong mỗi bộ số đều không tận cùng bằng 7
Vậy có điều phải chứng minh