Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2-2abc^2\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^4+b^4+\left(c^2-ab\right)^2\right)\)
\(\ge\left(a^3+b^3+c\left(c^2-ab\right)\right)^2\)
\(=\left(a^3+b^3+c^3-abc\right)^2\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2=1\)
\(\Rightarrow B\ge1\)
1.
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)
Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)
Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)
Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng
\(1=a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Rightarrow2P=2a^2+2b^2+2c^2=\frac{2}{a+b+c}+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow3P=3a^2+3b^2+3c^2=\frac{2}{a+b+c}+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.
ta có :
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{a^2+ab+b^3}+b-a\)
tương tự rồi cộng theo vế :
\(LHS\ge2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)
áp dụng bđt cô si
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{a^2+ab+b^2}{9}+\frac{1}{3}\ge\frac{3a}{3}=a\)
tương tự rồi cộng theo vế
\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+...\right)\ge a+b+c-1-\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(\ge\frac{2\left(9-a^2-b^2-c^2-ab-bc-ca\right)}{9}\)
đến đây chịu :)))))
Ta có a2 - (b - c)2 <= a2
<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a2
Tương tự
(b-c+a)(b-a+c) <= b2
(c-a+b)(c-b+a) <= c2
Từ đó ta có (b-c+a)2(b-a+c)2(c-b+a)2 <= a2 b2 c2
<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc (nhân vô chuyển vế nha)
<=> (a2 b + a2 c) + (b2 a + b2 c) + (c2 a + c2 b) <= a3 + b3 + c3 + 3abc
<=> a2 (a+b+c) + b2 (a+b+c) + c2 (a+b+c) <= 2(a3 + b3 + c3) + 3abc ( cộng 2 vế cho
Ta có a2 - (b - c)2 <= a2
<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a2
Tương tự
(b-c+a)(b-a+c) <= b2
(c-a+b)(c-b+a) <= c2
Từ đó ta có (b-c+a)2(b-a+c)2(c-b+a)2 <= a2 b2 c2
<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc
<=> (a2 b + a2 c) + (b2 a + b2 c) + (c2 a + c2 b) <= a3 + b3 + c3 + 3abc
<=> a2 (a+b+c) + b2 (a+b+c) + c2 (a+b+c) <= 2(a3 + b3 + c3) + 3abc (cộng 2 vế cho a3 + b3 + c3)
<=> a2 + b2 + c2 <= 2(a3 + b3 + c3 ) + 3abc
Xong