K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 7 2016

Vì P(x) có các nghiệm là x1 , x2 , x3 , x4 nên P(x) có thể viết được dưới dạng : \(P\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\)

Ta có : \(Q\left(x\right)=x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)=\left(2-x\right)\left(-2-x\right)\)

Xét : \(Q\left(x_1\right)=\left(2-x_1\right)\left(-2-x_1\right)\) ; \(Q\left(x_2\right)=\left(2-x_2\right)\left(-2-x_2\right)\)

\(Q\left(x_3\right)=\left(2-x_3\right)\left(-2-x_3\right)\) ; \(Q\left(x_4\right)=\left(2-x_4\right)\left(-2-x_4\right)\)

Suy ra : 

\(T=Q\left(x_1\right).Q\left(x_2\right).Q\left(x_3\right).Q\left(x_4\right)=\left[\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\right]\left[\left(-2-x_1\right)\left(-2-x_2\right)\left(-2-x_3\right)\left(-2-x_4\right)\right]\)

\(=P\left(2\right).P\left(-2\right)\)

Bạn thay P(2) và P(-2) vào và tính nhé :)

24 tháng 7 2016

Vì P(x) là đa thức bậc 4 và có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 nên P(x) có thể viết thành : \(P\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\)

Xét :  \(Q\left(x\right)=x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)=\left(2-x\right)\left(-2-x\right)\)

Ta có \(Q\left(x_1\right)=\left(2-x_1\right)\left(-2-x_1\right)\)\(Q\left(x_2\right)=\left(2-x_2\right)\left(-2-x_2\right)\)

\(Q\left(x_3\right)=\left(2-x_3\right)\left(-2-x_3\right)\) ; \(Q\left(x_4\right)=\left(2-x_4\right)\left(-2-x_4\right)\)

Suy ra : \(T=Q\left(x_1\right).Q\left(x_2\right).Q\left(x_3\right).Q\left(x_4\right)\)

\(=\left[\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\left(2-x_3\right)\left(2-x_4\right)\right].\left[\left(-2-x_1\right)\left(-2-x_2\right)\left(-2-x_3\right)\left(-2-x_4\right)\right]\)

\(=P\left(2\right).P\left(-2\right)=-5.3=-15\)

Vậy T = -15

13 tháng 4 2020

Đa thức \(P\left(x\right)=x^4-5x^2-2x+3\)có bốn nghiệm là \(x_1;x_2;x_3;x_4\)nên P(x) có dạng \(\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)\)(do P(x) là đa thức bậc bốn)

Ta có: \(Q\left(x\right)=x^2-3=\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow T=Q\left(x_1\right).Q\left(x_2\right).Q\left(x_3\right).Q\left(x_4\right)\)

\(=\left[\left(x_1-\sqrt{3}\right)\left(x_2-\sqrt{3}\right)\left(x_3-\sqrt{3}\right)\left(x_4-\sqrt{3}\right)\right]\)

                   \(\left[\left(x_1+\sqrt{3}\right)\left(x_2+\sqrt{3}\right)\left(x_3+\sqrt{3}\right)\left(x_4+\sqrt{3}\right)\right]\)

\(=P\left(\sqrt{3}\right).P\left(-\sqrt{3}\right)=\left(-3-2\sqrt{3}\right)\left(-3+2\sqrt{3}\right)\)

\(=\left(3+2\sqrt{3}\right)\left(3-2\sqrt{3}\right)=9-12=-3\)

Vậy \(T=Q\left(x_1\right).Q\left(x_2\right).Q\left(x_3\right).Q\left(x_4\right)=-3\)

NV
5 tháng 5 2019

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2019\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-2020\\x_3x_4=2\end{matrix}\right.\)

\(Q=\left(x_1+x_3\right)\left(x_1+x_4\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_4\right)\)

\(Q=\left(x_1^2+x_1x_4+x_1x_3+x_3x_4\right)\left(x_2^2-x_2x_4-x_2x_3+x_3x_4\right)\)

\(Q=\left(x_1^2+x_1\left(x_3+x_4\right)+x_3x_4\right)\left(x_2^2-x_2\left(x_3+x_4\right)+x_3x_4\right)\)

\(Q=\left(x_1^2-2020x_1+2\right)\left(x_2^2+2020x_2+2\right)\)

Mặt khác do \(x_1\); \(x_2\) là nghiệm của \(x^2+2019x+2=0\) nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+2019x_1+2=0\\x_2^2+2019x_2+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+2=-2019x_1\\x_2^2+2=-2019x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q=\left(-2019x_1-2020x_1\right)\left(-2019x_2+2020x_2\right)\)

\(Q=-4039x_1.x_2=-4039.2=-8078\)

19 tháng 6 2020

Ta có : \(\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=m\)

=> \(\left(x^2-7x+3x-21\right)\left(x^2-6x+2x-12\right)=m\)

=> \(\left(x^2-4x-21\right)\left(x^2-4x-12\right)=m\)

- Đặt \(x^2-4x=a\) ta được phương trình :

\(\left(a-21\right)\left(a-12\right)=m\)

=> \(a^2-21a-12a+252-m=0\)

=> \(a^2-33a+252-m=0\)

=> \(\Delta=b^2-4ac=\left(-33\right)^2-4\left(252-m\right)=81+4m\)

Lại có : \(x^2-4x=a\)

=> \(x^2-4x-a=0\) ( I )

- Để phương trình ( I ) có 4 nghiệm phân biệt

<=> Phương trình ( II ) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta>0\)

<=> \(m>-\frac{81}{4}\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\\x_2=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\)

=> Ta được phương trình ( I ) là :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+\frac{\sqrt{81+4m}-33}{2}=0\\x^2-4x-\frac{\sqrt{81+4m}+33}{2}=0\end{matrix}\right.\)

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=4\\x_3x_4=\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

- Để \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4\)

<=> \(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=4\)

<=> \(\frac{4}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{4}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=4\)

<=> \(\frac{1}{\frac{33-\sqrt{81+4m}}{2}}+\frac{1}{\frac{33+\sqrt{81+4m}}{2}}=1\)

<=> \(\frac{2}{33-\sqrt{81+4m}}+\frac{2}{33+\sqrt{81+4m}}=1\)

<=> \(\frac{2\left(33-\sqrt{81+4m}\right)+2\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}{\left(33-\sqrt{81+4m}\right)\left(33+\sqrt{81+4m}\right)}=1\)

<=> \(66-2\sqrt{81+4m}+66+2\sqrt{81+4m}=1089-81-4m\)

<=> \(66+66=1089-81-4m\)

<=> \(m=219\)

4 tháng 5 2017

Mình nghĩ thế này bạn à:

PT1: \(x^2+2013x+2=0.\)Theo Hệ thức Vi-ét ta có: \(x_1+x_2=-2013\\ x_1.x_2=2\)

Tương tự với PT2 ta có:\(x_3+x_4=-2014\\ x_3.x_4=2\)

\(Q=\left[\left(x_1+x_3\right)\left(x_2-x_4\right)\right]\left[\left(x_2_{ }-x_3\right)\left(x_1+x_4\right)\right]\)

\(Q=\left(x_1.x_2+x_2.x_3-x_1.x_4-x_3.x_4\right)\left(x_1.x_2+x_2.x_4-x_1.x_3-x_3.x_4\right)\)

\(Q=\left(2+x_2.x_3-x_1.x_4-2\right)\left(2+x_2.x_4-x_1.x_3-2\right)\)

\(Q=\left(x_2.x_3-x_1.x_4\right)\left(x_2.x_4-x_1.x_3\right)\)

\(Q=x_2.x_3.x_4-x_3.x_1.x_2-x_4.x_1.x_2+x_1.x_3.x_4\)

\(Q=2x_2-2x_3-2x_4+2x_1\)

\(Q=2\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_3+x_4\right)\)

\(Q=2.\left(-2013\right)-2.\left(-2014\right)\)

\(Q=2\)

Bài này hay quá. Chúc bạn học tốt nhé

NV
28 tháng 6 2020

Giả sử tất cả các pt dưới đây đều có nghiệm

\(\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=m\)

Đặt \(x^2-5x+4=t\) \(\Rightarrow x^2-5x+4-t=0\) (1)

\(\Rightarrow t\left(t+2\right)=m\Leftrightarrow t^2+2t-m=0\) (2)

Giả sử (2) có 2 nghiệm \(t_1;t_2\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=-2\\t_1t_2=-m\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1): \(\left[{}\begin{matrix}x^2-5x+4-t_1=0\\x^2-5x+4-t_2=0\end{matrix}\right.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=4-t_1\\x_3+x_4=5\\x_3x_4=4-t_2\end{matrix}\right.\)

\(Q=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\frac{x_3+x_4}{x_3x_4}=\frac{5}{4-t_1}+\frac{5}{4-t_2}=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{\left(4-t_1\right)\left(4-t_2\right)}\)

\(=\frac{40-5\left(t_1+t_2\right)}{t_1t_2-4\left(t_1+t_2\right)+16}=\frac{40-5.\left(-2\right)}{-m-4.\left(-2\right)+16}=\frac{50}{24-m}\)

NV
4 tháng 5 2020

\(\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)-1=0\)

Đặt \(x^2+8x+7=t\) (1)

\(t\left(t+8\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+8t-1=0\)

Do \(ac< 0\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=8\\t_1t_2=-1\end{matrix}\right.\)

- Với nghiệm \(t_1\) thay vào (1) ta có:

\(x^2+8x+7-t_1=0\)

Theo Viet, pt này có 2 nghiệm thỏa: \(x_1x_2=7-t_1\)

Với nghiệm \(t_2\) ta có: \(x^2+8x+7-t_2=0\)

Pt này có 2 nghiệm thỏa Viet: \(x_3x_4=7-t_2\)

Do đó: \(x_1x_2x_3x_4=\left(7-t_1\right)\left(7-t_2\right)\)

\(=49-7\left(t_1+t_2\right)+t_1t_2=49-7.8-1=-8\)

\(t_1+t_2=-8\)

25 tháng 3 2020

Phương trình tương đương:

\(\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x-5\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)\left(a-5\right)-m=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-15-m=0\) (1) với \(a=x^2+4x\)

Để phương trình ẩn x có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần của phương trình ẩn a là phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Delta'_{\left(1\right)}=1+15+m=16+m>0\) \(\Rightarrow m>-16\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{16+m}\\a=2-\sqrt{16+m}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4x-2-\sqrt{16+m}=0\left(2\right)\\x^2+4x-2+\sqrt{16+m}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, (3) có 2 nghiệm phân biệt khi \(m< 0\). (Xét denta)

Nghiệm của chúng lần lượt là:

\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4+\sqrt{16+m}}\\x=2+\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\\x=2-\sqrt{4-\sqrt{16+m}}\end{matrix}\right.\). 4 nghiệm này luôn phân biệt với \(-16< m< 0\)

Lần lượt thay nghiệm vào điều kiện:

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

Ta được phương trình vô nghiệm. Vậy không tìm nổi m :V