K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
1 tháng 3 2022

\(P=\dfrac{x^2-2x-2}{x^2+x+1}=\dfrac{2\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2+4x+4\right)}{x^2+x+1}=2-\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(x=-2\)

\(P=\dfrac{x^2-2x-2}{x^2+x+1}=\dfrac{-2\left(x^2+x+1\right)+3x^2}{x^2+x+1}=-2+\dfrac{3x^2}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge-2\)

\(P_{min}=-2\) khi \(x=0\)

2 tháng 3 2022

Dự đoán:  $Px^2+Px +P-x^2+2x+2=0\\\to x^2(P-1) +x(P+2)+(P+2)=0$ $\Delta =(P+2)^2-4(P-1)(P+2)=(P+2)(P+2-4P+4)=(P+2)(6-3P)\ge 0$ giải BPT Ta được: $-2\le P \le 2$ $\to P_{min}=-2,P_{max}=2$

 

12 tháng 5 2023

Nháp:

\(P=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\) \(\Leftrightarrow P\left(x^2+2\right)=2x+1\) \(\Leftrightarrow Px^2-2x+2P-1=0\) (*)

*Cần chú ý: Với bất kì đa thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) nào, muốn \(f\left(x\right)\) có nghiệm thì \(b^2-4ac\ge0\) (Mình không chứng minh ở đây nhé, bạn chỉ cần nhớ để nháp là đủ rồi.)

Do đó để (*) có nghiệm thì \(\left(-2\right)^2-4P\left(2P+1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow4-8P^2+4P\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(2P+1\right)\left(1-P\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{2}\le P\le1\)

\(P=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-2\)\(P=1\Leftrightarrow x=1\).

 Ý tưởng:

  Từ thông tin ở phần nháp, ta sẽ đưa tử của phân thức P về dạng chứa \(\left(x+2\right)^2\) và \(-\left(x-1\right)^2\) vì P đạt min tại \(x=-2\) và max tại \(x=1\), rồi tìm cách biến đổi các số hạng bên ngoài để ra dạng \(kA^2+c\) (\(k,c\) là các hằng số)

 Trình bày:

\(P=\dfrac{-x^2+2x-1+x^2+2}{x^2+2}=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}+1\)

Dễ thấy \(-\left(x-1\right)^2\le0\)\(x^2+2>0\) nên \(\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le0\) \(\Leftrightarrow P\le1\).

ĐTXR \(\Leftrightarrow x=1\)

Mặt khác, \(P=\dfrac{\dfrac{x^2}{2}+2x+2-\dfrac{x^2}{2}-1}{x^2+2}\)\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)^2-\dfrac{1}{2}\left(x^2+2\right)}{x^2+2}\) \(=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}-\dfrac{1}{2}\). Do \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\ge0\) \(\Leftrightarrow P\ge-\dfrac{1}{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=-2\).

 Vậy GTNN, GTLN của P lần lượt là \(-\dfrac{1}{2};1\), lần lượt xảy ra khi \(x=-2;x=1\) 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2023

Lời giải:

$P=\frac{2x+1}{x^2+2}$

$\Rightarrow P(x^2+2)=2x+1$

$\Rightarrow Px^2-2x+(2P-1)=0(*)$

Vì $P$ tồn tại nên PT $(*)$ có nghiệm.

$\Rightarrow \Delta'=1-P(2P-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2P^2-P-1\leq 0$

$\Leftrightarrow (P-1)(2P+1)\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq P\leq 1$ 

Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{2}$ và $P_{\max}=1$

17 tháng 1 2018

Ta có: \(M=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2}=\frac{2.\left(x^2+2\right)-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+2}\)

                                                  \(=\frac{2.\left(x^2+2\right)}{x^2+2}-\frac{x^2-2x+1}{x^2+2}=2-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\)

Vậy Mmax = 2 khi x = 1

Câu 2:

ĐKXĐ: x<>0

\(B=\dfrac{-x^2-x-1}{x^2}\)

\(=-1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1\right)\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+2\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< =-\dfrac{3}{4}\forall x< >0\)

Dấu '=' xảy ra khi 1/x+1/2=0

=>1/x=-1/2

=>x=-2

18 tháng 11 2018

\(A=x^2-6x+10\)

\(\Leftrightarrow A=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2-9+10\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-3\right)^2+1\ge1\)     \(\forall x\in z\)

\(\Leftrightarrow A_{min}=1khix=3\)

\(B=3x^2-12x+1\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\sqrt{3}x\right)^2-2\cdot\sqrt{3}x\cdot2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2-12+1\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\right)^2-11\ge-11\)    \(\forall x\in z\)

\(\Leftrightarrow B_{min}=-11khix=2\)

14 tháng 3 2019

\(A=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}\Leftrightarrow A\left(x^2+1\right)=3x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow Ax^2+A-3x^2+2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-3\right)+2x+\left(A-3\right)=0\)

\(\Delta'=1-\left(A-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(1+A-3\right)\left(1-A+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(4-A\right)\left(A-2\right)\ge0\Leftrightarrow2\le A\le4\)

27 tháng 11 2016

a) ta có A = (2x-1)2+ ( x+2)= 4x2- 4x +1 +x+2= 4x2 -3x +3 = 4x2-2*2x* \(\frac{3}{4}\)+ \(\frac{9}{16}\)+ \(\frac{39}{16}\)

= (2x-\(\frac{3}{4}\))2+ \(\frac{39}{16}\)

=> (2x-\(\frac{3}{4}\))2>=0

=> A >= \(\frac{39}{16}\)

dấu = sảy ra khi x=\(\frac{3}{2}\)

vậy A(min) = \(\frac{39}{16}\) khi x=\(\frac{3}{2}\)

 

b) lm tương tự B(min)= -\(\frac{25}{4}\) khi x= \(\frac{5}{2}\)

c) đặt dấu trừ ra ngoài vậy C(max)=0 khi x=2

 

18 tháng 12 2019

Ta có:

 \(A=\frac{4x+5}{x^2+2x+6}=\frac{x^2+2x+6-x^2-2x-6+4x+5}{x^2+2x+6}\)

\(=\frac{\left(x^2+2x+6\right)-x^2+2x-1}{x^2+2x+6}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2x+6}\le1\)

=> max A = 1 tại x = 1

\(A=\frac{4x+5}{x^2+2x+6}=\frac{-\frac{4}{5}\left(x^2+2x+6\right)+\frac{4}{5}\left(x^2+2x+6\right)+4x+5}{x^2+2x+6}\)

\(=-\frac{4}{5}+\frac{4x^2+28x+49}{5\left(x^2+2x+6\right)}=-\frac{4}{5}+\frac{\left(2x+7\right)^2}{5\left(x^2+2x+6\right)}\ge-\frac{4}{5}\)

=> min A = -4/5 <=> 2x + 7 = 0 <=> x = -7/2

Vậy...