Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) $\left[\begin{aligned} &x > -3\\ &x > -\dfrac12\\ \end{aligned}\right.$;
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đặt \(a\left(1-b\right)=x;b\left(1-c\right)=y;c\left(1-a\right)=x\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca=1-a\left(1-b\right)-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-x-y-z\)
BĐT cần c/m trở thành:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{3}{1-x-y-z}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x-y-z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x-y-z}{x}+\dfrac{1-x-y-z}{y}+\dfrac{1-x-y-z}{z}-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-y-z}{x}+\dfrac{1-z-x}{y}+\dfrac{1-x-y}{z}-6\ge0\) (1)
Lại có: \(1-y-z=1-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-b-c+bc+ca=\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca\)
Nên (1) tương đương:
\(\dfrac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca}{a\left(1-b\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-c\right)+ab}{b\left(1-c\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)+bc}{c\left(1-a\right)}-6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\)
BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM do:
\(\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\sqrt[6]{\dfrac{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
Cám ơn bài giải của thầy Lâm ạ!
Và từ bài bất đăng thức này, đã được chế thành bài toán hình học trong 1 kì thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh thầy ạ!
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)
thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:
\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a^3\left(b+c\right)}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{b\left(c+a\right)}{4b^3\left(c+a\right)}}=\frac{1}{b}\)
\(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a+b\right)}{4c^3\left(a+b\right)}}=\frac{1}{c}\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{ab+bc+ac}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{2}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{2}{c^3\left(a+b\right)}\ge ab+bc+ac\) (đpcm)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Giả sử a <0
Vì abc>0 nên bc <0
Có ab+bc+ca>0
<=>a(b+c)>-bc
Vì bc<0=>-bc>0
=>a(b+c)>0
Mà a<0 nên b+c<0
=> a+b+c<0
Mà theo đề a+b+c>0
=> điều giả sử sai
=> điều pk chứng minh
Giả sử ba số aa, bb, cc không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≤ 0
Ta có ab + bc + ca > 0 \Leftrightarrow a(b + c) > -bc \Rightarrow a(b+c) > 0 \Rightarrow b + c < 0 \Rightarrow a + b + c < 0ab + bc + ca > 0 ⇔ a(b+c) > − bc ⇒ a(b+c) > 0 ⇒ b + c < 0 ⇒ a + b + c < 0 (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy cả ba số aa, bb và cc đều dương.