K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
22 tháng 4 2019
xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì a và b là số dương nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\forall a,b\in R^+\)
vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
KB
9 tháng 3 2019
a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b ) Làm tương tự như a )
AV
9 tháng 3 2019
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)
cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)
b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)
KL
0
CP
1
2 tháng 4 2016
Quá dễ!
a, \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab=\left(\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\right)-ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\)
Vì (a-b)2 \(\ge\) 0 => \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab\ge0\Rightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
b, Câu này chả có gì khó cả, tiểu học cũng học rồi, chung tử bằng 1, mẫu lớn hơn thì phân số bé hơn và ngược lại
Để gõ cái đống phân số như ở câu a kia là mình mất khá nhiều thời gian đấy, ti ck ủng hộ nhé
27 tháng 4 2018
a)\(A=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
Ta chứng minh bđt:\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)(1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng\(\Rightarrow A\ge1+2+1=4\left(\text{đ}pcm\right)\)
b)\(B=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\)
\(B=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}\)
\(B=\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\)
Áp dụng bđt (1)\(\Rightarrow B\ge2+2+2=6\left(\text{đ}pcm\right)\)
BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b\right).\frac{a+b}{ab}\ge4\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Do BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b