Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)
\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)
\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
4a) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\times\frac{y}{x}}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y > 0
\(P=\sum\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\sum\frac{4x^2\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}=\sum\frac{4x^2}{y+z}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{min}=2\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Câu 2 có dương không nhỉ? Không dương thì không làm được
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}\ge6\)
\(A_{min}=6\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1) \(P\ge\frac{x^2.2\sqrt{yz}}{yz}+\frac{y^2.2\sqrt{zx}}{zx}+\frac{z^2.2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}+\frac{2y^2}{\sqrt{zx}}+\frac{2z^2}{\sqrt{xy}}\ge4\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=4\left\{\left[\frac{x^2}{y+z}+\frac{1}{4}\left(y+z\right)\right]+\left[\frac{y^2}{z+x}+\frac{1}{4}\left(z+x\right)\right]+\left[\frac{z^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)\right]\right\}-2\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
2) \(A=\left[\frac{1}{x^2+y^2}+4\left(x^2+y^2\right)\right]+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)-4\left(x+y\right)^2-8xy\ge4+8-4-2.\left(x+y\right)^2=8-2.\left(x+y\right)^2\ge8-2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)