TV
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TH
1
TT
6 tháng 8 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:
\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)
\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2023
Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Từ đó:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
15 tháng 6 2023
1: (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9
=(a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+9
=(a^2-7a)^2+18(a^2-7a)+81
=(a^2-7a+9)^2>=0
b: \(A=\dfrac{a^4-4a^3+a^2+4a^3-16a+4+16a-3}{a^2}=\dfrac{16a-3}{a^2}\)
a^2-4a+1=0
=>a=2+căn 3 hoặc a=2-căn 3
=>A=11-4căn 3 hoặc a=11+4căn 3
H
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2023
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
áp dụng bdt svacxơ => VT >=(a+b+c)^2/(2a+2b+2c) = (a+b+c)/2 = VP (dpcm)
Xét hiểu hai vế: \(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{c+a}-\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-ab\right)+\left(a^2-ac\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-bc\right)+\left(b^2-ab\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c^2-ca\right)+\left(c^2-bc\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a-b\right)+a\left(a-c\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-c\right)+b\left(b-a\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)+c\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{a^2+ac-b^2-bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)}{2}\left(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (BĐT đúng)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Xảy ra đẳng thức khi a = b =c