Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, A B C = 60 ° , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SA, SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng

A.  a 15 30 .

B.  a 15 20 .

C.  a 15 15 .

D.  a 15 10 .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B. 

Gọi I là trung điểm của SP. Theo định lý Talet:

d 1 H M N = 1 2 d S H M N . Ta cần tính  d S H M N .

Bước 1: Tìm  V S . H M N

Ta có: 

V S . H M N V S . H A D = 1 2 . 1 2 = 1 4 ; V S . H A D V S . A B C D = 1 4

Giả sử a = 1

Dễ thấy 

V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 2 . 3 2 = 1 4

⇒ V S . H M N = 1 16 . 1 4 = 1 64 .

Bước 2: Tìm S H M N . Ta có: M H → = − 1 2 B S → và  M N → = 1 2 B C → ⇒ H M N = 180 ° − S B C .

Do đó 

sin H M N = sin S B C ⇒ S H M N = 1 2 M H . M N . sin H M N = 1 4 . S S B C .

Tam giác SBC có SB = BC = 1; 

S C = S H 2 + H C 2 = 2 S H = 6 2 ⇒ S S B C = 15 8 .

Do đó  S H M N = 1 4 . 15 8 = 15 32 .

Bước 3: Sử dụng công thức: 

d S H M N = 3. V S . H M N S H M N = 3 64 . 32 15 = 15 10 ⇒ d I H M N = 1 2 . 15 10 = 15 20 .