K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 5 2016

\(\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\)

\(=\frac{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{ab}\)

\(>\frac{b^2+\left(c-a\right).b}{bc}+\frac{c^2+\left(a-b\right).c}{ac}+\frac{a^2+\left(b-c\right).a}{ab}\)(BĐT tam giác)

\(=\frac{b+c-a}{c}+\frac{c+a-b}{a}+\frac{a+b-c}{b}\)

rồi sao đứng bánh r

7 tháng 5 2016

Giải bằng lập luận tương đương nhá

Ta có: \(A=\frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-2ca-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{ab}>0\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{ac}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{ab}>0\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{ac}+\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{ab}>0\)

cmđ cái phân số đầu >0

2p/s sau quy đồng, lấy nhân tử chung là b+c-a là ra

25 tháng 3 2018

  Áp dụng BĐT côsi ta có: 

a² + bc ≥ 2.a√(bc) 

<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1) 

tương tự vậy: 

1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2) 

1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3) 

lấy (1) + (2) + (3) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab)) 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc 

<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!) 

Ta chứng minh bổ đề: 

√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c 

thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được: 

a + b ≥ 2√(ab) --- (*) 

a + c ≥ 2√(ac) --- (**) 

b + c ≥ 2√(bc) --- (***) 

lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ] 

<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@) 

từ (!) và (@) 

=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )

15 tháng 7 2020

Áp dụng AM - GM:

\(\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}};\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ca}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

Khi đó:

\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)

15 tháng 7 2017

\(\frac{2\left(Σab\right)}{Σa^2}\le\frac{2\left(Σa^2\right)}{a^2}=2\)

tuc la can cm \(Σ\frac{a}{b+c}\le\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\)

Nguoc dau voi BDT Nesbitt

vay BDT sai ko xay ra dau = maybe :3

15 tháng 7 2017

Bất đẳng thức này mà ko loạn dấu thì tự làm đc r. Nhưng vế trước>=3/2, vế sau<=2 quá loạn dấu

18 tháng 12 2016

Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)

Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)

Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)

18 tháng 12 2016

Mình đánh nhầm, dòng cuối cùng là \(a+b+c\)