Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+2\sqrt{x}=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=3x\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}y^2+2\sqrt{y}\ge3y\\z^2+2\sqrt{z}\ge3z\end{cases}}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\). Suy ra
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+xz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x=y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy hệ pt có nghiệm là (x;y;z)=(1;1;1)
\(\hept{\begin{cases}xy+z^2=2\left(1\right)\\yz+x^2=2\left(2\right)\\zx+y^2=2\left(3\right)\end{cases}}\)Lấy 1- 2 ta có \(-y\left(z-x\right)+z^2-x^2=0\Leftrightarrow-y\left(z-x\right)+\left(z+x\right)\left(z-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(z-x\right)\left(z+x-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=x\\y=x+z\end{cases}}\)
TH1: Nếu \(x=z\)thế vào 1 và 3 có \(\hept{\begin{cases}xy+x^2=2\\x^2+y^2=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow y^2-xy=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)y=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\x=y\end{cases}}\)
- Nếu \(y=x=z\Rightarrow2x^2=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)
- Nếu \(y=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=z\\x^2=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=z=\sqrt{2}\\x=z=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
TH2 :Nếu \(y=x+z\)thế vào 1 và 3 có :\(\hept{\begin{cases}\left(x+z\right)x+z^2=2\\xz+\left(z+x\right)^2=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+xz+z^2=2\\x^2+3xz+z^2=2\end{cases}}}\)trừ hai vế của phương trình \(2xz=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=0\\x=0\end{cases}}\)
- Nếu \(x=0\Rightarrow y=z\Rightarrow z^2=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=z=\sqrt{2}\\y=z=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
- Nếu \(z=0\Rightarrow y=x\Rightarrow y^2=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=\sqrt{2}\\x=y=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
Kết luân : nghiệm của hệ là \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{2},0,\sqrt{2}\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-\sqrt{2},0,-\sqrt{2}\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(0,\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(0,-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{2},\sqrt{2},0\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0\right)\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)\\\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,-1\right)\end{cases}}\)