Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:
$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$
$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$
$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$
$=2+3=5$
Vậy $M_{\min}=5$
Ta sẽ sử dụng phương pháp Cauchy ngược dấu để CM bài toán này
Xét \(\frac{a^2}{a+2b^3}=\frac{a\left(a+2b^3\right)-2ab^3}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\)
\(=a-\frac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}\cdot\frac{ab}{\sqrt[3]{a}}\)
\(=a-\frac{2}{3}\cdot\left(b\sqrt[3]{a^2}\right)=a-\frac{2}{3}\cdot b\cdot\sqrt[3]{a\cdot a\cdot1}\)
\(\ge a-\frac{2}{9}\cdot b\cdot\left(a+a+1\right)=a-\frac{2b}{9}\left(2a+1\right)=a-\frac{2}{9}\left(2ab+b\right)\)
Tương tự ta biến đổi với các phân thức còn lại:
\(\frac{b^2}{b+2c^3}\ge b-\frac{2}{9}\left(2bc+c\right)\) và \(\frac{c^2}{c+2a^3}=c-\frac{2}{9}\left(2ca+a\right)\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{2}{9}\left[2\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\ge3-\frac{2}{9}\left[2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3\right]=3-\frac{2}{9}\left(2\cdot3+3\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Vậy Min(P) = 1 khi a = b = c = 1
bài này easy thôi:
Áp dụng BĐT schwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ac+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ac+a^2\right)}.\)
Mặt khác \(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ac+a^2\right)\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right).\)
nên ta có:\(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2.\)
Mà ta có BĐT cơ bản là:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2.\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}.\)
Do đó:\(VT\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}.\)
Vậy Min là \(\frac{1}{3}.\)Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Đặt \(A=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
Ta có : \(\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}=\frac{a}{\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}=\frac{a^2}{a\sqrt{\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)
\(=\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\)
Theo BĐT Cô - si ta có :
\(0< \sqrt[3]{2a^2.\left(3-a^2\right).\left(3-a^2\right)}\le\frac{2a^2+3-a^2+3-a^2}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow0< 2a^2.\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)\le8\)
\(\Leftrightarrow0< \sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}\le2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2\left(3-a^2\right)\left(3-a^2\right)}}\ge\frac{a^2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{a^2}{2}\)
Hay : \(\frac{a}{b^2+c^2}\ge\frac{a^2}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\frac{b}{c^2+a^2}\ge\frac{b^2}{2};\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{c^2}{2}\)
Do đó : \(A\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(Min\) \(A=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Gọi biểu thức là N
Dự đoán \(MinN=\frac{3}{2}\)khi a = b = c = 1, ta dùng UCT giải quyết bài toán
Ta viết lại \(N=\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\)(do \(a^2+b^2+c^2=3\)theo giả thiết)
Xét bất đẳng thức phụ \(\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{a^2}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{2\left(3-a^2\right)}\ge0\)(Đúng vì \(3-a^2=b^2+c^2>0\)và a > 0)
Tương tự: \(\frac{b}{3-b^2}\ge\frac{b^2}{2}\)(1); \(\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{c^2}{2}\)(2)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (1) và (2), ta được: \(\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1