Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cosi:
`1/x^2+1/y^2>=2/(xy)`
`<=>2>=2/(xy)`
`<=>1>=1/(xy)`
`<=>xy>=1`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=1`
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
vì x y dương \(\Rightarrow\frac{4}{x}+\frac{9}{y}>=2\cdot\sqrt{\frac{36}{xy}}=2\cdot\frac{6}{\sqrt{xy}}=\frac{12}{\sqrt{xy}}\)(bđt cosi) dấu = xảy ra khi 4/x=9/y suy ra x= 4/9y và y=9/4x
\(\frac{4}{x}+\frac{9}{y}\)nhỏ nhất là \(\frac{12}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow x+y=\frac{4}{9}y+y=\frac{13}{9}y=1\Rightarrow y=\frac{9}{13}\)
\(=x+\frac{9}{4}x=\frac{13}{4}x=1\Rightarrow x=\frac{4}{13}\)
\(\Rightarrow\frac{12}{\sqrt{xy}}=\frac{12}{\sqrt{\frac{9\cdot4}{13^2}}}=\frac{12}{\sqrt{\frac{36}{13^2}}}=\frac{12}{\frac{6}{13}}=12\cdot\frac{13}{6}=26\)
vậy b nhỏ nhất là 26 khi x=4/13 và y = 9/13
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm
Áp dụng cosi
`1/x^2+1/y^2>=2/(xy)`
`=>1/2>=2/(xy)`
`=>xy>=4`
Aps dụng cosi
`=>x+y>=2\sqrt{xy}=2.2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=4`
Có : \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot\dfrac{1}{y^2}}=\dfrac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
Ta có : \(A=x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy min A = 4 khi $x=y=2$
\(y\ge1+xy\Rightarrow1\ge\dfrac{1}{y}+x\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le4\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(G=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x}\right)+\dfrac{15}{16}.\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Ta có
\(A=\dfrac{4}{x+1}+\dfrac{9}{y+2}+\dfrac{25}{z+3}\)
\(A=\dfrac{2^2}{x+1}+\dfrac{3^2}{y+2}+\dfrac{5^2}{z+3}\)
\(A\ge\dfrac{\left(2+3+5\right)^2}{x+1+y+2+z+3}\) (BĐT Schwarz)
\(A\ge\dfrac{10^2}{10}=10\) (vì \(x+y+z=4\))
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{y+2}=\dfrac{5}{z+3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{y+2}=\dfrac{5}{z+3}=\dfrac{2+3+5}{z+1+y+2+z+3}=1\). Dẫn đến \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\). Vậy, GTNN của A là 10 khi \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,2\right)\)