Question

[TRỊNH VIỆT DŨNG]

Tìm số tự nhiên n để 2^n ₊2⁸+2¹¹ là một số chính phương?

Answer 1

[Ha Trang]

Dùng máy CASIO thử thì tìm được n = 12. Tuy nhiên ta cũng giải như sau:

Giả sử 2ⁿ+2⁸+2¹¹=a²<=>2ⁿ=a²-2⁸-2¹¹=a²-2034=a²-48²=(a+48)(a-48)

Như vậy 2ⁿ=(a+48)(a-48), giả sử n = p+q (p>q), khi đó:

2^p+q=(a+48)(a-48)<=>2^p.2^q=(a+48)(a-48)=>2^p=a+48, 2^q=a-48=>2^p-2^q=96<=>2^q(2^p-q-1)=2⁵.3 suy ra: 2^q=2⁵ và 2^p-q-1=3=>q=5 và p=7. Khi đó n = p+q=12

(Bài này hình như là lớp 8)

Answer 2

[Jaken sama]

Đặt 2^8+21^1+2^n=a^2
=>2n=a^2−48^2=(a−48)(a+48)
=>Tồn tại q,p sao cho a−48=2p;a+48=2q với p,q∈N ; p<q và p+q=n
 =>2q−2p=96<=>2p(2q−p−1)=25.3  =>{2p=252p−q−1=3  <=>{p=5q=7
=>n=12
Khi đó : A=802