Question

[huyquanghxh]

cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD và CE bằng nhau. CMR tam giác ABC cân

giải nhanh nha cần gấp

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Bổ đề (*/) ( h.(2)): \(\Delta FGH\)có FI là phân giác thì \(FI^2=FG.FH-GI.IH\)

Chứng minh: Lấy điểm J trên nửa mặt phẳng bờ GH không chứa F sao cho ^IHJ = ^IFH = ^IFG

\(\Delta FIG~\Delta HIJ\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{GI}{JI}=\frac{FI}{IH}\Rightarrow IG.IH=JI.FI\)(*)

\(\Delta FGI~\Delta FJH\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{FG}{FJ}=\frac{FI}{FH}\Rightarrow FG.FH=FI.FJ\)(**)

Trừ theo từng vế của (**) và (*), ta được: \(FI^2=FG.FH-GI.IH\)

(h.(1)) Đặt BC = a, CA = b, AB = c

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{AE}{b}=\frac{BE}{a}=\frac{c}{b+a}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AE=\frac{bc}{a+b}\\BE=\frac{ac}{a+b}\end{cases}}\)

Áp dụng bổ đề (*/), ta được: \(CE^2=AC.BC-AE.BE=ab-\frac{abc^2}{\left(a+b\right)^2}=ab\left[1-\frac{c^2}{\left(a+b\right)^2}\right]\)

Tương tự: \(BD^2=ac\left[1-\frac{b^2}{\left(a+c\right)^2}\right]\)

Theo giả thiết ta có: BD = CE suy ra \(ab\left[1-\frac{c^2}{\left(a+b\right)^2}\right]=ac\left[1-\frac{b^2}{\left(a+c\right)^2}\right]\)\(\Leftrightarrow b-c=\frac{bc^2}{\left(a+b\right)^2}-\frac{b^2c}{\left(a+c\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(1+\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+bc+2ac}{\left(a+b\right)^2\left(a+c^2\right)}\right)=0\)

Dễ thấy \(1+\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+bc+2ac}{\left(a+b\right)^2\left(a+c^2\right)}>0\forall a,b,c>0\)nên b - c = 0 hay b = c

Vậy tam giác ABC cân tại A.