K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 12 2019

Có:

\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{x};\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ge2\sqrt{y}\)

Cộng theo vế suy ra: \(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

20 tháng 12 2019

À quên sửa đề là Gtnn

22 tháng 12 2018

Gọi \(T=...\)

\(T+3=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+1\)

\(T+3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{9}{2}\)\(\Rightarrow\)\(T\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

... 

22 tháng 12 2018

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\\\sqrt{z}=c\end{cases}\left(a,b,c>0\right)}\)

Đặt \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

\(\Rightarrow P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)

\(P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)

\(P+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\)

\(2\left(P+3\right)=2.\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(2\left(P+3\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(2\left(P+3\right)\ge3.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)

\(\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow P+3\ge4,5\)

\(\Leftrightarrow P\ge1,5\)

\(P=1,5\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)

Vậy \(P_{min}=1,5\Leftrightarrow x=y=z\)

chịu thua vô điều kiện xin lỗi nha : v

muốn biết câu trả lời lo mà sệt trên google ấy đừng có mà dis:v